▪ Κυρτότητα και ανισότητα

Μία ωραία άσκηση στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου. 

Του Θάνου Μάγκου

Άσκηση

Έστω ορισμένη για ώστε και για κάθε . Να δειχθεί ότι:  

είναι κυρτή

Να βρεθεί το

Λύση

Η συνάρτηση έχει 

 

για κάθε άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο

Επομένως, αν ισχύει οπότε είναι για κάθε δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο

Ακόμα, από την ανισότητα στα δεδομένα προκύπτει πως για κάθε

1) Είναι, λοιπόν, 

 

για κάθε άρα η είναι κυρτή στο

2) Η ανισότητα είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας Jensen στην κυρτή συνάρτηση :

Είναι 

.

3) Από τα παραπάνω φαίνεται ότι η είναι επίσης κυρτή στο οπότε αν θεωρήσουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης π.χ. στο σημείο της

θα είναι 

και είναι .

Επειδή τώρα είναι θα ισχύει και