▪ 3η Προκαταρκτική φάση 1995 (Λύκειο)

Θέμα 1ο 

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο () και με βάσεις τις πλευρές κατασκευάζουμε στο εξωτερικό του ισόπλευρα τρίγωνα . Αν η είναι κάθετη στην και η η κάθετη στην , να αποδείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της .

Θέμα 2ο

Έστω πρώτος αριθμός της μορφής ( φυσικός). Να αποδείξετε ότι αν και τότε και .

Θέμα 3ο

Έστω όπου άρτιος και . Αν και

  , 

να αποδείξετε ότι για κάθε .

Θέμα 4ο

α) Θεωρούμε έναν πίνακα του οποίου κάθε τετράγωνο χρωματίζεται με ένα από 3 χρώματα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο διαστάσεων () του οποίου τα τετράγωνα στις κορυφές έχουν το ίδιο χρώμα.

β) Να εξετάσετε αν σε έναν πίνακα μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς -1,0,1 ώστε τα αθροίσματα κάθε γραμμής και κάθε στήλης να είναι διαφορετικά.
Πηγή: Αλέξανδρος Συγγελάκης