▪ Γενικές ασκήσεις στις Παραγώγους

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=\frac{1}{x}$ και $g(x) = x^2 − 3x + 3$, $x ϵ (0,+∞)$ έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο $A(1,1)$.

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των $C_f$ και $C_g$ στο διάστημα $(0,+∞)$.

2. Αν είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $R$, με $f(0) = g(0)$ και $f ʹ(x) > gʹ(x)$ για κάθε $x_0ϵ R$ να αποδείξετε ότι

$f(x) < g(x)$ στο $(−∞,0)$ και $f(x) > g(x)$ στο $(0, +∞)$.

3. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα $1$. Αν $θ$ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του είναι $Ε = (1 + συνθ)ημθ$. Να βρείτε την τιμή της γωνίας $θ ϵ (0,π)$ για την οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.

4. Ένα σύρμα μήκους $20m$ διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματος κυκλικού τομέα.

Να βρείτε την ακτίνα $r$ του κύκλου, αν επιθυμούμε να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου.

5. Δύο διάδρομοι πλάτους $1m$ τέμνονται κάθετα. Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό μήκος μιας σκάλας που μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια, να στρίψει στη γωνία.

Υπόδειξη:

i) Να εκφράσετε τα $ΟΑ, ΟΒ$ συναρτήσει της γωνίας $θ, 0 < θ < π/2$.

ii) Να αποδείξετε ότι

$(ΑΒ)=\frac{1}{ημθ}+\frac{1}{συνθ}=f(θ)$.

iii) Να βρείτε την τιμή της γωνίας $θ$, για την οποία το $ΑΒ$ γίνεται ελάχιστο.

6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $f(x)=\frac{lnx}{x}$.

ii) Να αποδείξετε ότι $α^{α+1} > (α + 1)^ α$ για κάθε $α > e$.

iii) Να αποδείξετε ότι για $x > 0$ ισχύει $2^x = x^2 ⇔ f(x) = f(2)$ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση $2^ x = x^2$ έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις $x_1 = 2, x_2 = 4$.

7. i) Αν $α,β > 0$ και για κάθε $x ϵ R$ ισχύει $α^x + β^ x ≥ 2$, να αποδείξετε ότι $αβ = 1$.

ii) Αν $α > 0$ και για κάθε $x ϵ R$ ισχύει $α^x≥ x + 1$, να αποδείξετε ότι $α = e$.

8. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x) = e^x$ είναι κυρτή, ενώ η $g(x) = lnx$ είναι κοίλη.

ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $A(0,1)$ και της $Cg$ στο $B(1,0)$.

iii) Να αποδείξετε ότι:

α) $ex ≥ x + 1$, $x ϵ R$ 

β) $lnx ≤ x − 1$, $x ϵ (0, +∞)$

Πότε ισχύουν οι ισότητες;

iv) Η $C_f$ βρίσκεται πάνω από την $Cg$.

9. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

$f(x) = e^x − λx , λ > 0$

ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του $λ > 0$ για την οποία ισχύει

$ex ≥ λx$ , για κάθε x ϵ R

iii) Για την τιμή του λ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία $y = λx$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $g(x) = e^x$.

10. Δίνεται η συνάρτηση

Να αποδείξετε ότι:

i) Η f είναι παραγωγίσιμη στο $x_0 = 0$ και στη συνέχεια ότι η ευθεία $y = 0$ (ο άξονας $xʹx$) είναι η εφαπτομένη της $C_f$ στο $O(0,0)$.

ii) Ο άξονας $xʹx$ έχει με την $C_f$ άπειρα κοινά σημεία, παρόλο που εφάπτεται της $C_f$.

iii) Η ευθεία $y = x$ είναι ασύμπτωτη της $C_f$ στο +∞ και στο −∞.

11. A. Έστω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε
$φ(0) =0, φ΄(0) = 0$  και $φ΄΄(x) + φ(x) = 0$ για κάθε $x\in{R}$.  (1)

Να αποδείξετε ότι :

i) Η συνάρτηση $ψ(x) = [φʹ(x)]^2 + [φ(x)]^2$ είναι σταθερή στο $R$ και να βρείτε τον τύπο της.

ii) $φ(x) = 0$ και για κάθε $x ϵ R$.

Β. Έστω δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε:
$f(0) =0, f΄(0) = 1$  και $f΄΄(x) + f(x) = 0$ για κάθε $x\in{R}$
$g(0) =1, g΄(0) = 0$  και $g΄΄(x) + g(x) = 0$ για κάθε $x\in{R}$.

Να αποδείξετε ότι :

i) Οι συναρτήσεις $φ(x) = f(x) − ημx$ και $ψ(x) = g(x) − συνx$ ικανοποιούν τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος $Α$.

ii) $f(x) = ημx$ και $g(x) = συνx$ για κάθε $x ϵ R$.

12. Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος έχει ακτίνα 1cm και η ε εφάπτεται σε αυτόν στο σημείο $Α$. Το τόξο $ΑΜ$ είναι $θ$ rad και το ευθ. τμήμα $ΑΝ$ είναι $θ$ cm.

Η ευθεία $ΜΝ$ τέμνει τον άξονα $xʹx$ στο σημείο $P(x,0)$. Να δείξετε ότι :

i) $x=\frac{θσυνθ-ημθ}{θ-ημθ}=x(θ)$
ii) $lim_{θ\to{0}}x(θ)=-2$.

13. Ένας πεζοπόρος $Π$ ξεκινάει από ένα σημείο $Α$ και βαδίζει γύρω από μια κυκλική λίμνη ακτίνας $ρ = 2km$ με ταχύτητα $υ = 4km/h$. Aν $S$ είναι το μήκος του τόξου $ΑΠ$ και $ℓ$ το μήκος της απόστασης $ΑΠ$ του πεζοπόρου από το σημείο εκκίνησης τη χρονική στιγμή $t$:

A) Να αποδείξετε ότι

i) $θ=\frac{S}{2}$ και $l=4ημ{\frac{θ}{2}}$
ii) $S=4t$, $θ=2t$ και $l=4ημt$.

Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης $ℓ$. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης $ℓ$, όταν

i) $θ=\frac{2π}{3}$
ii) $θ=π$
iii) $θ=\frac{4π}{3}$;

14. Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να μαζέψουν $12500$ κιλά ντομάτες. Κάθε εργάτης μαζεύει $125$ κιλά την ώρα και πληρώνεται $1800$ δρχ. την ώρα. Για το συντονισμό και επιστασία των εργατών ο αγρότης θα προσλάβει και έναν επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει $3000$ δρχ. την ώρα. Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει στο σωματείο των εργατών εισφορά $30004 δρχ. για τον επιστάτη και κάθε εργάτη. Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσει το ελάχιστο δυνατόν και ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος.
Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.