Θεώρημα
Το εμβαδόν της επιφάνειας σφαίρας (Ο,ρ) ισούται με το εμβαδόν τεσσάρων μέγιστων κύκλων, δηλαδή:Ε=4πρ2.
Απόδειξη
Θεωρούμε ότι η σφαίρα (Ο,ρ) παράγεται από την περιστροφή ενός μέγιστου κύκλου της, με άξονα μία διάμετρο. Στο μέγιστο κύκλο εγγράφουμε ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο. Κατά την περιστροφή γύρω από τη διάμετρο ΑΔ, η πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ, σύμφωνα με το θεώρημα I του Πάππου, παράγει επιφάνεια εμβαδού:
Θεωρούμε ότι η σφαίρα (Ο,ρ) παράγεται από την περιστροφή ενός μέγιστου κύκλου της, με άξονα μία διάμετρο. Στο μέγιστο κύκλο εγγράφουμε ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο. Κατά την περιστροφή γύρω από τη διάμετρο ΑΔ, η πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ, σύμφωνα με το θεώρημα I του Πάππου, παράγει επιφάνεια εμβαδού:
Ε6=2πα6(ΑΒ'+Β'Γ'+Γ'Δ)=2πα6 • ΑΔ=4πρα6,
όπου α6 είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου.
Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγεγραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμμένου πολυγώνου συνεχώς μειώνεται, το πολύγωνο τείνει στο μέγιστο κύκλο και το απόστημα τείνει στην ακτίνα του κύκλου. Στο όριο λοιπόν, έχουμε:
Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγεγραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμμένου πολυγώνου συνεχώς μειώνεται, το πολύγωνο τείνει στο μέγιστο κύκλο και το απόστημα τείνει στην ακτίνα του κύκλου. Στο όριο λοιπόν, έχουμε:
Ε=4πρ•ρ=4πρ2.
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Α΄ και Β΄ Λυκείου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου