▪ Ελληνικά Μαθηματική Ολυμπιάδα "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" 1996 - Γυμνάσιο

Θέμα 1ο

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο . Οι μεσοκάθετοι των και τέμνουν τη στα και αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι .

β) Να βρεθεί τι μέρος του εμβαδού του τριγώνου είναι το εμβαδόν του τριγώνου .

Θέμα 2ο

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους η παράσταση

  

είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Θέμα 3ο

Να εξετάσετε αν μπορούμε να ξαναγράψουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 σε μια σειρά ώστε:

α) Το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών αριθμών στη νέα σειρά να μην υπερβαίνει το 16.

β) Το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών αριθμών στη νέα σειρά να μην υπερβαίνει το 15.

Θέμα 4ο

Δίνονται δέκα ομόκεντροι κύκλοι και δέκα ακτίνες όπως στο σχήμα. Στα σημεία όπου ο εσωτερικός κύκλος τέμνεται από τις ακτίνες γράφουμε διαδοχικά και με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Στον επόμενο κύκλο γράφουμε με την ίδια φορά τους αριθμούς 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 διαδοχικά και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο κύκλο όπου γράφουμε διαδοχικά τους αριθμούς 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100. Στη διάταξη αυτή, οι αριθμοί 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 βρίσκονται στην ίδια ακτίνα και ομοίως και για τις άλλες ακτίνες. Μπροστά σε 50 από αυτούς τους 100 αριθμούς βάζουμε το πρόσημο "πλην" φροντίζοντας όμως:

α) σε κάθε μία από τις 10 ακτίνες να υπάρχουν ακριβώς 5 "πλην" και, επίσης,

β) σε κάθε έναν από τους δέκα ομόκεντρους κύκλους να υπάρχουν ακριβώς 5 "πλην".

Δείξτε ότι το άθροισμα των 100 προσημασμένων αριθμών που προκύπτουν, είναι μηδέν.

Πηγή: mathematica (Α. Συγγελάκης)