▪ Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων

Ασκήσεις
1. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $α, β, γ$ και τρεις γωνίες $Α, Β, Γ$ έτσι ώστε:

   $Α, Β, Γ > 0$, $Α+Β+Γ = π$ 

και

$\frac{a}{ημA}= \frac{β}{ημΒ}= \frac{γ}{ημΓ}$. 

Να αποδείξετε ότι:

$α^2=β^2+γ^2-2βγσυνΑ$

$β^2=α^2+γ^2-2αγσυνΒ$

$γ^2=α^2+β^2-2αβσυνΓ$.

2. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $α, β, γ$ και τρεις γωνίες $Α, Β, Γ$ έτσι ώστε:

  $Α, Β, Γ > 0$, $Α+Β+Γ = π$ 

 και

$\frac{a}{ημA}= \frac{β}{ημΒ}= \frac{γ}{ημΓ}$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα τρίγωνο $ΚΛΜ$ με $(ΛΜ) = α, (KM) = β, (ΚΛ) = γ, Κ = Α, Λ = Β, Μ = Γ$.

3. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $α, β, γ$ και τρεις γωνίες $Α, Β, Γ$ έτσι ώστε:

$0 < Α, Β, Γ < π$ 

και 

$α^2=β^2+γ^2-2βγσυνΑ$

$β^2=α^2+γ^2-2αγσυνΒ$

$γ^2=α^2+β^2-2αβσυνΓ$

Να αποδείξετε ότι:

$\frac{a}{ημA}= \frac{β}{ημΒ}= \frac{γ}{ημΓ}$ και $Α+Β+Γ = π$.

4. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $α, β, γ$ και τρεις γωνίες $Α, Β, Γ$ έτσι ώστε:

   $0 < Α, Β, Γ < π$  

και 

$α^2=β^2+γ^2-2βγσυνΑ$

$β^2=α^2+γ^2-2αγσυνΒ$

$γ^2=α^2+β^2-2αβσυνΓ$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα τρίγωνο $ΚΛΜ$, με $(ΛM) = α, (KM) = β,(ΚΛ) = γ, Κ = A, Λ = Β, Μ = Γ$.