Παρασκευή 16 Νοεμβρίου 2012

▪ Scramble με αριθμούς - 148

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 2, 5 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 30.

▪ Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Πηγή: e-taksi
   

▪ Για φυσικούς αριθμούς

Έστω φυσικός αριθμός $n$, με $n≥ 2$. Nα αποδειχθεί ότι:
$\frac{1}{n + 1} (1 +\frac{1}{3}+ · · · +\frac{1}{2n − 1}) >\frac{1}{n}(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ · · · +\frac{1}{2n})$.
Canadian Mathematical Olympiad 1998

▪ Θετικές τιμές

Να υπολογισθεί το άθροισμα όλων των ακέραιων θετικών τιμών του $n$ που ικανοποιούν τη σχέση:
\[ \cos\Bigl(\frac{\pi}{n}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{4\pi}{n}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{8\pi}{n}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{16\pi}{n}\Bigr) =\frac{1}{32}\]
USA Math Prize For Girls 2012

▪Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη 7η

▪Φτιάχνουμε προβλήματα!

Ομαδική εργασία των μαθητών της
Τα παιδιά δημιούργησαν προβλήματα με αφορμή μια άσκηση του σχολικού βιβλίου και τα έλυσαν όλοι μαζί στην τάξη τους.  

▪ Μία κίνηση (ΙΙ)

Οι δύο βασιλιάδες, όπως θα παρατηρήσετε λείπουν. Να τους τοποθετήσετε στην σκακίερα, έτσι ώστε τα λευκά να κάνουν ματ σε μία κίνηση.

▪ Από Ταϊβάν

Αν
$k = 2^{2^{n}} + 1$ 
όπου $n$ θετικός ακέραιος αριθμός, να αποδειχθεί ότι, ο $k$ είναι πρώτος, αν και μόνο αν, ο $k$ διαιρεί τον
$3^{\frac{k−1}{2}} + 1$.
Taiwan Mathematical Olympiad 1997

▪ Επίλυση τριγώνου

Να επιλυθεί το τρίγωνο XYZ.
A.
x = 5.7, Y = 29.3° και Z = 112.7°
B.
x = 5.7, Y = 119.7° και Z = 22.3°
C.
x = 5.7, Y = 51.0° και Z = 91.0°
D.
x = 5.7, Y = 50.7° and Z = 101.3°


▪ Δίπλωση

Διπλώσαμε ένα ορθογώνιο τραπεζομάντηλο, διαστάσεων $a\cdot{b}$, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα.
Αν η επιφάνειες της πάνω και της κάτω όψης που βλέπουμε είναι ίσες, υπολογίστε το λόγο $\frac{a}{b}$.

▪ Διαδοχικές Εγγραφές

Ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τετράγωνο. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $4\sqrt{3}$ είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο. Ποιο είναι το μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου;

▪ Scramble με αριθμούς - 147

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 2, 5 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 14.

▪ 15ο Παγκύπριο συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 2013

▪ Μία κίνηση (Ι)

Ο μαύρος βασιλιάς, όπως θα παρατηρήσετε λείπει. Τοποθετήστε τον σε μία θέση, έτσι ώστε τα λευκά να κάνουν ματ σε μία κίνηση.
Dr Karl Fabel, Deutsche Schachblätter, 1950

▪Συμμετρικό ορθογωνίου (ΙΙ)

Ως προς ποια ευθεία, το ορθογώνιο $A'B'C'D'$ είναι το συμμετρικό του $ABCD$, στις παρακάτω περιπτώσεις; 
 Α 
[image]
 Β 

▪Συμμετρικό τριγώνου

To ορθογώνιο της παρακάτω εικόνας περιστρέφεται περί την ευθεία $y=x$.
Ποιο από τα παρακάτω σχήματα είναι το συμμετρικό του;

▪ Ελευθερία

Ένας θετικός ακέραιος αριθμός $α$ λέγεται ελεύθερος τετραγώνου όταν δεν διαιρείται από το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού. Να αποδειχθεί ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός $n$ γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή $n=ab$, όπου $α$ είναι ελεύθερος τετραγώνου, και ο $b$ είναι τέλειο τετράγωνο.

▪Συμμετρικό ορθογωνίου (Ι)

To ορθογώνιο της παρακάτω εικόνας περιστρέφεται περί την ευθεία $y=4$.
[image]
Ποιο από τα παρακάτω σχήματα είναι το συμμετρικό του;

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 16 Νοεμβρίου
1672 : Wilkins
1786 : Hatvani>
1922 : Max Abraham
1925 : James Archibald
1945 : Blichfeldt
1982 : Aleksandrov
2002 : Smithies
2007 : Golub