▪ Η Άσκηση του Μήνα - Φεβρουάριος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow{R}$ ισχύουν:

1) $f(x)\cdot{f''(x)}>[f'(x)]^{2}>0$, για κάθε $x\in{R}$
2) $f(x)+ f(-x)=f(x)\cdot{f(-x)}$, για κάθε $x\in{R}$
3) $f'(0)=1$

A) Nα αποδειχθεί ότι:

$f(x)>1$, $f'(x)>0$, $f''(x)>0$ 

για κάθε $x\in{R}$

Β) α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $g(x)=ln(f(x))$, $x\in{R}$ είναι κυρτή και ότι ισχύει 

$f(x)\geq{2e^{\frac{x}{2}}}$

για κάθε $x\in{R}$.

β) Αν $α_1, α_2,...., α_ν$ ανήκουν στο $(0,+\infty)$ και είναι

$α_{1}\cdot{α_2}\cdot...\cdot{α_ν}=1$

να αποδειχθεί ότι 

${f(lna_1)}\cdot{f(lna_2)}\cdot...\cdot{f(lna_ν)}\geq{2^ν}$, $ν\in{Ν^{*}}$

Γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $f$.

Δ) Για ποιες τιμές του $λ\in(0,+\infty)$ η εξίσωση 

$f(x)+λ= 2+(lnλ)^2$

έχει λύση στο $R$;

Ε) Να λυθεί η εξίσωση

$(f(x))^2\cdot{f(2x)}+8=8f(2x)$, $x\in{R}$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               
Κάντε κλικ εδώ για να το εκτυπώσετε και εδώ για να δείτε τις λύσεις των συναδέλφων Βασίλη Κακαβά και Μάκη Χατζόπουλου