▪ Η Άσκηση του Μήνα - Απρίλιος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow{R}$ για την οποία ισχύουν:

$f(R)=(0,+\infty)$ και
$f(x+f(y))>f(x-f(y))$

για κάθε $x,y\in{R}$.

1) Να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$ 

2) Να βρείτε τα όρια

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow{-\infty}}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow{+\infty}}f(x)$

3) Θεωρούμε τη συνάρτηση
$g(x) =\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} \cdot \int_x^{2x} f(t) dt, &x \neq 0 \\ \\f(0) \phantom{xxxxxxx}, &x = 0 \end{matrix}
\right.$

α) Να δείξετε ότι η $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$

β) Να δείξετε ότι

$\int_{2^{ν-1}}^{2^ν}f(t)dt>2^{ν-1}\int_{1}^{2}f(t)dt$

όπου $ν\in{N}$, $ν\geq2$.

γ) Αν επιπλέον η $C_f$ έχει στο $+\infty$ ασύμπτωτη την ευθεία $y=2x$, να βρείτε τα όρια:

$L_1=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{+\infty}}\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x^2}dt$ και

$L_2=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{+\infty}}(f(2x)-2f(x))$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ, για να το εκτυπώσετε και στους παρακάτω συνδέσμους για να δείτε τη λύση του θέματος, από τον συνάδελφο Μιχάλη Σουλάνη:

[σελ.1, σελ.2, σελ.3, σελ.4]