Δευτέρα 14 Απριλίου 2014

Ισόπλευρο και κύκλοι

Στο σχήμα το τρίγωνα $ABC\,$ είναι ισόπλευρο. Οι τέσσερις κύκλοι είναι ίσοι με ακτίνα $r = 2$, ο καθένας, είναι δε εγγεγραμμένοι:
Ο μεσαίος στο τρίγωνο $DSP$ και οι τρεις άλλοι στα τρίγωνα $ABD,BCS,CAP$. Βρείτε το μήκος της πλευράς του $ABC$.
Αναρτήθηκε από στις 14.4.14
Ετικέτες , ,

5 σχόλια:

  1. papadim17 Απριλίου 2014 στις 11:30 π.μ.

    Με βασικές προϋποθέσεις α) ότι ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα :-) και β) ότι δεν έχω χαθεί στον κυκεώνα των απαραίτητων υπολογισμών, τα βασικά βήματα και το αποτέλεσμα μιας λύσης, μπορεί να είναι τα εξής:
    1. Το τρίγωνο KLM είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς 4*r
    2. Το τρίγωνο DSP είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς 2√3*r
    3. Το ισόπλευρο τρίγωνο ABC έχει εμβαδό όσο και το άθροισμα των εμβαδών των 4 τριγώνων που περιγράφουν τους 4 ίσους κύκλους του σχήματος. Αν x είναι το μήκος της πλευράς τού ABC, η ισότητα αυτή εκφράζεται ως εξής:
    x^2*√3/4 = 3*(x*r+√3*r^2/3) + 3√3*r^2
    Από την επίλυση της 2-βάθμιας ως προς x εξίσωσης, παίρνουμε μία θετική ρίζα:
    x = (4√7+√3)*r/2
    Για r=2 ==> x= 4√7+√3

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Doloros17 Απριλίου 2014 στις 2:06 μ.μ.

      Πρώτα -πρώτα εύχομαι σε όλους καλό Πάσχα.
      Τώρα ότι αφορά την απάντηση επειδή δεν είμαι σίγουρος 100%, θέλω μια επιβεβαίωση . Η δευτέρου βαθμού που «βλέπω» είναι:
      $\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} = 3(rx + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{r^2}) + 3\sqrt 3 {r^2}$ που τελικά γράφεται : $\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} - 3rx - 4\sqrt 3 {r^2} = 0$.
      Μετά θα σας απαντήσω σχετικά .

      Διαγραφή
  2. papadim17 Απριλίου 2014 στις 2:49 μ.μ.

    Ναι, σε αυτή την εξίσωση καταλήγω, νομίζω όμως ότι, αν τελικά είναι σωστή η ίδια, η θετική της ρίζα πρέπει να είναι:
    x = 2(√7+√3)r και για r=2 ==> x = 4(√7+√3)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Doloros17 Απριλίου 2014 στις 3:10 μ.μ.

    Ακριβώς και τα εύσημα μου !!!

    Βεβαίως υπάρχουν κάποιες τεκμηριώσεις αλλά αυτό ουδόλως μειώνει την έξοχη απάντηση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. papadim17 Απριλίου 2014 στις 5:57 μ.μ.

    Ευχαριστώ αγαπητέ Doloros και συγχαρητήρια για το ωραίο θέμα!
    Περιορίστηκα στη βασική σύνθεση της λύσης, για να μην κουράσω, δεδομένης και της πολυπλοκότητας του σχήματος που προκύπτει από την ανάλυση των λεπτομερειών. Θα προσθέσω μερικές επιγραμματικές επεξηγήσεις:
    1. Το ισόπλευρο των τριγώνων KLM και DSP προκύπτει σχετικά εύκολα από τις απαιτήσεις συμμετρίας της κατασκευής, ώστε οι 4 εγγεγραμμένοι κύκλοι να είναι ίσοι.
    2. Το μήκος της πλευράς του τριγώνου KLM προκύπτει ως άθροισμα δύο ίσων μεταξύ τους τμημάτων που το καθένα είναι υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με μια οξεία γωνία π/6 και απέναντί της κάθετο πλευρά ίση με r.
    3. Το μήκος της πλευράς του τριγώνου DSP προκύπτει ως άθροισμα τριών τμημάτων που το καθένα είναι πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με μια οξεία γωνία π/6 και μια άλλη πλευρά γνωστή συναρτήσει του r.
    Τα υπόλοιπα, υπολογισμοί εμβαδών κ.ο.κ. είναι πλέον το σχετικά ευκολότερο κομμάτι.
    Ευχαριστώ και πάλι, εύχομαι καλό Πάσχα, υγεία και αγάπη σε όλο τον κόσμο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)