Πέμπτη 10 Απριλίου 2014

Τρία ίσα τμήματα

Δεδομένων δύο κύκλων C και C ', να κατασκευαστεί μια ευθεία (d), η οποία να τέμνει τους δύο κύκλους σε τέσσερα σημεία, έτσι ώστε να ορίζονται τρία ίσα τμήματα επί της ευθείας (d).

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

1 σχόλιο:

  1. Απλό στη διατύπωση, αλλά νομίζω όχι τόσο απλό στην απάντησή του το πρόβλημα, καθώς συνδέεται με τους απολλώνιους κύκλους, δέσμες κύκλων κ.ο.κ. Υποπερίπτωση γενικότερου προβλήματος (κύκλοι τεμνόμενοι ή όχι, ίσοι ή όχι κ.ο.κ.)
    Πολύ περιληπτικά θα προσπαθήσω να δώσω ένα περίγραμμα της κατασκευής, για την περίπτωση άνισων τεμνόμενων κύκλων, όπως στο σχήμα της ανάρτησης.
    Έστω Κ και Λ τα κέντρα των δύο κύκλων, του μικρού αριστερά και του μεγάλου δεξιά αντιστοίχως, και Α (πάνω από τη διάκεντρο) και Β (κάτω από τη διάκεντρο) τα σημεία τομής τους.
    Πάνω στη διάκεντρο ευθεία και εκατέρωθεν του ΚΛ ορίζουμε σημεία Μ και Ν τέτοια ώστε ΜΚ=ΚΛ=ΛΝ. Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων ΜΛ και ΚΝ, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Ο (πάνω από τη διάκεντρο) και Π (κάτω από τη διάκεντρο).
    Φέρουμε τη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΟ και έστω ότι αυτή τέμνει τη διάκεντρο ευθεία στο σημείο Ρ. Γράφουμε τον κύκλο με κέντρο το Ρ και ακτίνα ΡΑ=ΡΟ, ο οποίος τέμνει τη διάκεντρο στο σημείο Χ, μεταξύ των Κ και Λ.
    Γράφουμε τον κύκλο διαμέτρου ΧΛ, ο οποίος τέμνει τον μικρό αρχικό κύκλο, κέντρου Κ, στα σημεία Ψ (πάνω από τη διάκεντρο) και Ω (κάτω από τη διάκεντρο). Τα σημεία τομής των ευθειών ΧΨ και ΧΩ με τους δύο αρχικούς κύκλους ορίζουν πάνω στις ευθείες αυτές τρία ίσα τμήματα (2 συμμετρικές λύσεις).

    ΑπάντησηΔιαγραφή