Τρίτη 9 Σεπτεμβρίου 2014

Γεωμετρικός τόπος

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $z$ για τους οποίους:
$\left| {\dfrac{{{z^2} + 9}}{z}} \right| = 6$.
Λύση
 Έχουμε λοιπόν  για κάθε $z \ne 0$, $\left| {\dfrac{{{z^2} + 9}}{z}} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left| {z + \dfrac{9}{z}} \right|^2} = 36$ . Άρα
$(z + \dfrac{9}{z})(\overline z  + \dfrac{9}{{\bar z}}) = 36 \Leftrightarrow z\bar z + 9(\dfrac{{{z^2} + {{\bar z}^2}}}{{z\bar z}}) - 36 = 0$ και πολλαπλασιάζοντας με $z\bar z$ προκύπτει : ${(z\overline z )^2} + 9{z^2} + 9{\bar z^2} + 81 - 36z\bar z = 0$   που αν την «σπάσω» γράφεται :
${(z\bar z)^2} - 18z\bar z + 81 + 9{z^2} - 18z\bar z + 9{\bar z^2} = 0$. Επειδή $\boxed{{i^2} =  - 1}$ η προηγούμενη γράφεται:
$\boxed{{{(z\bar z - 9)}^2} - {{((3z - 3\bar z)i)}^2} = 0}$ . Μετά απ’ αυτά έχουμε:
$z\bar z + 3(z - \bar z)i - 9 = 0$ ή  $z\bar z - 3(z - \bar z)i - 9 = 0$
που αν τώρα θέσουμε $\boxed{z = x + yi}$ έχουμε τις εξισώσεις των δύο κύκλων που πολύ σωστά προσδιόρισε, έστω κα λίγο ανορθόδοξα ό Φώτης , δηλαδή :
${x^2} + {y^2} + 3(2yi)i - 9 = 0$ ή  ${x^2} + {y^2} - 3(2yi)i - 9 = 0$ ή τελικά :
$\boxed{{x^2} + {{(y - 3)}^2} = 18}$ ή $\boxed{{x^2} + {{(y + 3)}^2} = 18}$.
Φραγκάκης Νίκος (Doloros)- 2ο Λύκειο Ιεράπετρας

7 σχόλια:

  1. Βρήκα το γεωμετρικό τόπο. Είναι δύο ίσοι κύκλοι ακτίνας ρ=18^(1/2), με κέντρα τα σημεία (0,3) και (0,-3). Θα ήθελα τώρα εσείς να βρείτε και να σχεδιάσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη σχέση: μέτρο(z+μέτρο(z))=1. Κάτι...πονηρό προκύπτει! Χαχαχαχαααα!!! Ομοίως για τα z για τα οποία ισχύει: μέτρο(z^2+1)=1. Τι σχήμα προκύπτει τώρα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλημέρα Φώτη .
      Θα ήταν εύκολο να γράψεις δυο λόγια πως προκύπτει η λύση αυτή;

      Διαγραφή
  2. Επιτέλους, κάποιος ανταποκρίθηκε στη δημοσίευσή μου. Όσον αφορά την ερώτησή σας, εννοείτε να γράψω όλη την πορεία της επίλυσης με το μετασχηματισμό της αρχικής εξίσωσης; Το βρίσκω λίγο χρονοβόρο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Μπορείς να τα γράψεις συνοπτικά σε 2-3 γραμμές , αν όχι αργότερα μετά τον αγιασμό στα σχολεία θα τα γράψω ( σε δύο τρεις γραμμές )

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε αδρές γραμμές, το θέμα έχει ως εξής: Η αρχική εξίσωση, μέτρο((z^2+9)/z)=6, με z βέβαια διάφορο του 0, δίνει μέτρο(z^2+9)=6*μέτρο(z). Κάνοντας τις πράξεις, βασισμένοι στην ιδιότητα z*(συζυγής z)=[μέτρο(z)]^2, προκύπτει η εξίσωση: [μέτρο(z)]^4+9[z^2+(συζυγής z)^2]+81=36*[μέτρο(z)]^2. Αντικαθιστώντας σε αυτήν z=x+yi, προκύπτει η σχέση: y^4+2(x^2-27)y^2+x^4-18x^2+81=0. Για να έχει αυτή η εξίσωση λύση ως προς y^2 και y, καθώς και για να έχουν νόημα οι εκφράσεις που προκύπτουν για το y^2, προκύπτει το πεδίο ορισμού για το x: y=+/-{27-x^2+/-6[(18-x^2)]^(1/2)}^(1/2), x μεγαλύτερο ή ίσο με -18^(1/2) και x μικρότερο ή ίσο με 18^(1/2). Κάνοντας τη μελέτη των παραπάνω εξισώσεων, μου βγήκαν κάτι καμπύλες "κυκλοειδείς", όπως νόμισα στην αρχή. Άλλωστε οι εξισώσεις αυτές δε θυμίζουν εξισώσεις κύκλου. Κάνοντας όμως στη συνέχεια το γράφημα στο Excel, μου προέκυψαν τέλειοι κύκλοι! Αυτό με πονήρεψε, και πήγα αντίστροφα: Από την εξίσωση των μιγαδικών {[μέτρο(z-3i)]^2-18}*{[μέτρο(z+3i)]^2-18}=0, με μετασχηματισμούς προκύπτει η αρχική εξίσωση! Υπάρχει κάποιος τρόπος να αποφανθούμε κατευθείαν ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι 2 κύκλοι;

      Διαγραφή
    2. Φώτη για σένα αλλά και κάθε ενδιαφερόμενο δίδω πλήρη απάντηση.

      Διαγραφή
    3. Να κοιτάξετε και τις 2 ασκήσεις που προτείνω. Αξίζει τον κόπο, προκύπτουν αξιοσημείωτες...καμπύλες!

      Διαγραφή