Πέμπτη 10 Απριλίου 2014

Απάντηση στο πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν (του Νίκου Φραγκάκη)

Το πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν
Στο πρώτο σχήμα:
Έχει κατασκευαστεί  τετράπλευρο $PBTC$ με πλευρές $PB = 8,BT = 4,TC = 1,CP = 8$ που όμως δεν είναι εγράψιμμο η διαγώνιος του $PT = 8$  και μετά το παραλληλόγραμμο $ABCD$ με 
$BA// = TP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD// = BC$.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου $PBTC$ είναι χωρισμένο σε τρίγωνα με γνωστές και ακέραιες πλευρές και έχει εμβαδόν 
$(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{4}$ 
και άρα το παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν
$(ABCD) = 2(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{2}$.
Εδώ την πάτησα.
Αφού στο δεύτερο σχήμα το τετράπλευρο
$PBTC$ είναι και εγγράψιμμο.
Για να επιτευχθεί αυτό : Κατασκευάζω τρίγωνο  $PCB$ με βάση $CB = \dfrac{{3\sqrt {65} }}{5}$ και πλευρές $PC = 8,PB = 7$. Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου αυτού και με κέντρο $B$ και ακτίνα $4$ γράφω νέο κύκλο που τέμνει το μικρό τόξο $CB$ στο $T$.
Με τη βοήθεια  και  του θεωρήματος του Πτολεμαίου προκύπτει ότι $CT = 1$.
Τώρα συνεχίζουμε  όπως πιο πάνω και έχουμε το εμβαδόν
$(PCTB) = (PCB) + (CBT) = 18 \Rightarrow (ABCD) = 36$.
Δείτε κι αυτό:
Για κάθε $K$ στην πλευρά π. χ.  $AB$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ είναι
$(ABCD) = 2(KDC)$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου