Τρίτη 8 Ιουλίου 2014

1 - Η ομορφιά των αριθμών

 272 = (2 + 7)3
 81 = (8 + 1)2
 101 = 102 + 12
 153 = 13 + 53 + 33
 2432 = (2 + 4 + 3)5
 2433 = (24 + 3)5
 371 = 33 + 73 + 13
 407 = 43 + 073
 512 = (5 + 1 + 2)3
 7292 = (72 + 9)3
 1001 = 103 + 013
 10242 = (10 + 2 + 4)5
 1233 = 122 + 332 1296 = (1 + 29 + 6)2
 1371 = 12 + 372 + 12
 1634 = 14 + 64 + 34 + 44
 2025 = (20 + 25)2
 2213 = 23 + 23 + 133
 2401 = (2 + 4 + 01)4
 3025 = (30 + 25)2
 4151 = 45 + 15 + 55 + 15
 4161 = 43 + 163 + 13
 4913 = (4 + 9 + 1 + 3)3
 5832 = (5 + 8 + 3 + 2)3
 6724 = (6 + 72 + 4)2
 8208 = 84 + 24 + 084
 8281 = (8 + 2 + 81)2
 8281 = (82 + 8 + 1)2
 8833 = 882 + 332
 9474 = 94 + 44 + 74 + 44
 9801 = (98 + 01)2
 10001 = 104 + 0014
 10001 = 1002 + 012
 10100 = 102 + 1002
 17576 = (1 + 7 + 5 + 7 + 6)3
 19683 = (1 + 9 + 6 + 8 + 3)3
 21952 = (2 + 19 + 5 + 2)3
 41833 = 43 + 183 + 333
 42025 = (43 + 23 + 023 + 53)2
 54748 = 55 + 45 + 75 + 45 + 85
 55225 = (5 + 5 + 225)2
 64405 = 63 + 43 + 403 + 53
 88209 = (88 + 209)2
 91125 = (9 + 11 + 25)3
 92727 = 95 + 25 + 75 + 25 + 75
 93084 = 95 + 35 + 085 + 45
 100001 = 105 + 00015
 104151 = 105 + 45 + 15 + 55 + 15
 104769 = 13 + 0473 + 63 + 93
 112348 = 13 + 123 + 33 + 483
 118099 = 14 + 184 + 094 + 94
 123489 = 13 + 233 + 483 + 93
 125011 = 13 + 23 + 503 + 13 + 13
 130321 = (13 + 03 + 2 + 1)4
 136161 = (1 + 361 + 6 + 1)2
 143641 = (14 + 364 + 1)2
 165033 = 163 + 503 + 333
 166375 = (1 + 6 + 6 + 37 + 5)3
 171396 = (17 + 1 + 396)2
 181476 = (182 + 12 + 42 + 72 + 62)2
 185722 = 13 + 83 + 573 + 23 + 23
 191844 = (12 + 92 + 182 + 42 + 42)2
 194979 = 15 + 95 + 45 + 95 + 75 + 95
 196058 = 13 + 93 + 63 + 0583
 216011 = 23 + 13 + 603 + 13 + 13
 221859 = 223 + 183 + 593
 224748 = 22 + 22 + 4742 + 82
 234256 = (2 + 3 + 4 + 2 + 5 + 6)4
 238328 = (23 + 8 + 3 + 28)3
 245837 = 23 + 43 + 583 + 373
 250024 = 22 + 5002 + 22 + 42
 250045 = 22 + 5002 + 42 + 52
 250047 = (2 + 50 + 04 + 7)3
 250065 = 22 + 5002 + 62 + 52
 250084 = 22 + 5002 + 82 + 42
 264413 = 23 + 643 + 43 + 133
 301653 = 303 + 13 + 653 + 33
 336701 = 333 + 673 + 013
 340067 = 343 + 00673
 341067 = 343 + 103 + 673
 357911 = (3 + 57 + 9 + 1 + 1)3
 360011 = 32 + 6002 + 12 + 12
 360034 = 32 + 6002 + 32 + 42
 360074 = 32 + 6002 + 72 + 42
 360091 = 32 + 6002 + 92 + 12
 373248 = (37 + 3 + 24 + 8)3
 390625 = (3 + 9 + 06 + 2 + 5)4
 407001 = 403 + 703 + 013
 407370 = 403 + 73 + 33 + 703
 431649 = (4 + 3 + 1 + 649)2
 442225 = (42 + 42 + 22 + 22 + 252)2
 444664 = 443 + 463 + 643
 455625 = (45 + 5 + 625)2
 487215 = 483 + 723 + 153
 494209 = (494 + 209)2
 531441 = (5 + 3 + 14 + 4 + 1)4
 531441 = (5 + 31 + 4 + 41)3
 531441 = (5 + 31 + 44 + 1)3
 548834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46
 551368 = (5 + 5 + 1 + 3 + 68)3
 551368 = (55 + 13 + 6 + 8)3
 570618 = 53 + 703 + 613 + 83
 571536 = (5 + 715 + 36)2
 614656 = (6 + 1 + 4 + 6 + 5 + 6)4
 627264 = (62 + 726 + 4)2
 649818 = 63 + 493 + 813 + 83
 662596 = (62 + 62 + 252 + 92 + 62)2
 682281 = 62 + 8222 + 812
 684045 = 63 + 843 + 0453
 704969 = (7 + 04 + 9 + 69)3
 753571 = (7 + 5 + 3 + 5 + 71)3
 753571 = (75 + 3 + 5 + 7 + 1)3
 826281 = (826 + 2 + 81)2
 842724 = (842 + 72 + 4)2
 864891 = 83 + 63 + 483 + 913
 893025 = (8 + 930 + 2 + 5)2
 911548 = 913 + 13 + 543 + 83
 929296 = (929 + 29 + 6)2
 964334 = 963 + 433 + 33 + 43
 970299 = (9 + 70 + 2 + 9 + 9)3
 971399 = 93 + 73 + 13 + 33 + 993
 982081 = (982 + 08 + 1)2
 982827 = 983 + 283 + 273
 983221 = 983 + 323 + 213
 988361 = 983 + 83 + 363 + 13
 990100 = 9902 + 1002
 998001 = (998 + 001)2
 999371 = 9992 + 372 + 12
 1000001 = 106 + 000016
 1000001 = 1003 + 00013
 1000001 = 10002 + 0012
 1000101 = 10002 + 102 + 12
 1000153 = 1003 + 013 + 53 + 33
 1000371 = 1003 + 033 + 73 + 13
 1000407 = 1003 + 043 + 073
 1001001 = 103 + 01003 + 13
 1001001 = 1003 + 103 + 013
 1002213 = 1003 + 23 + 23 + 133
 1004161 = 1003 + 43 + 163 + 13
 1082811 = 13 + 0823 + 813 + 13
 1175791 = 13 + 13 + 753 + 73 + 913
 1225043 = (12 + 2 + 50 + 43)3
 1259712 = (1 + 2 + 5 + 97 + 1 + 2)3
 1259712 = (1 + 25 + 9 + 71 + 2)3
 1268784 = 13 + 263 + 873 + 843
 1292480 = 123 + 923 + 43 + 803
 1295029 = (1 + 2 + 95 + 02 + 9)3
 1295029 = (1 + 29 + 50 + 29)3
 1336336 = (13 + 3 + 6 + 3 + 3 + 6)4
 1560896 = (1 + 5 + 6 + 08 + 96)3
 1560896 = (15 + 6 + 089 + 6)3
 1679616 = (1 + 6 + 7 + 9 + 6 + 1 + 6)4
 1679616 = (1 + 679 + 616)2
 1741725 = 17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57
 1874161 = (1 + 8 + 7 + 4 + 16 + 1)4
 1874161 = (18 + 7 + 4 + 1 + 6 + 1)4
 1882371 = 14 + 84 + 84 + 24 + 374 + 14
 1950103 = 13 + 953 + 01033
 1953125 = (1 + 95 + 3 + 1 + 25)3
 2230433 = 224 + 304 + 44 + 334
 2406104 = (24 + 06 + 104)3
 2515456 = (25 + 1 + 54 + 56)3
 2896804 = (2 + 896 + 804)2
 2924207 = (2 + 92 + 42 + 07)3
 2985984 = (29 + 8 + 5 + 98 + 4)3
 3048625 = (30 + 4 + 86 + 25)3
 3048625 = (30 + 48 + 62 + 5)3
 3175524 = (3 + 1755 + 24)2
...........................
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

11 σχόλια:

  1. Προτείνω μια άσκηση δικής μου έμπνευσης: Δοθέντος ενός τριγώνου ΑΒΓ, να προσδιοριστεί το έγκεντρό του, ΧΩΡΙΣ να κατασκευαστούν 2 διχοτόμοι του.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Γεια σου Φώτη .
    Τα παρακάτω μου ήλθαν στο μυαλό αλλά θα υπάρχει και πιο απλή λύση , την οποία θα ψάξω .
    Αρκεί να φέρουμε παράλληλες προς δύο πλευρές του και σε απόσταση $\dfrac{E}{\tau }$ απ’ αυτές .
    Με $E = ({\rm A}{\rm B}\Gamma )\,\,\,,\,\,\,\tau = \dfrac{{\alpha + \beta + \gamma }}{2}$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Και μια πιο ωραία από πλευράς κατασκευής.

    Γράφουμε το περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm A}{\rm B}\Gamma $ και θεωρώ τα μέσα ${\rm M},{\rm N}$ των μικρών τόξων ${\rm B}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}$ αντίστοιχα .
    Οι κύκλοι : $({\rm M},{\rm M}{\rm B})$ και $({\rm N},{\rm N}{\rm B})$ τέμνονται μέσα στο τρίγωνο στο ζητούμενο σημείο ${\rm I}$.
    Η απόδειξη αφήνετε σαν άσκηση

    Νίκος

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
    2. Υπάρχει και μια άλλη λύση... ΄Εστω (ΑΒ)=γ, (ΑΓ)=β και (ΒΓ)=α. Κατασκευάζω μία διχοτόμο αυτού, έστω την ΑΔ. Με κέντρο το Α και ακτίνα ρ=α+β+γ γράφω κύκλο ο οποίος τέμνει την ευθεία ΒΓ σε σημείο Ε. Στο τμήμα ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ, τέτοιο ώστε (ΑΖ)=β+γ. Από το Ζ φέρνω τώρα την παράλληλη στη ΒΓ, που τέμνει την ΑΔ στο Η. Αποδεικνύεται ότι το Η είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Με την άσκηση της ολυμπιάδας τι γίνεται;

      Διαγραφή
    3. Έλυσα την κατασκευαστική άσκηση με τους κύκλους. Αυτό που έδειξα είναι ότι το έγκεντρο του τριγώνου είναι το ένα από τα δύο κοινά σημεία των κύκλων (Μ,ΜΒ) και (Ν,ΝΒ). Δεν ξέρω αν το πρόβλημα αντιμετωπίζεται "ορθά", δηλαδή αν αποδεικνύεται ότι το σημείο τομής των κύκλων, εσωτερικό του τριγώνου, είναι το έγκεντρό του. Εσάς σας άρεσε η δική μου λύση με την παράλληλο;

      Διαγραφή
  4. Φώτη γεια και πάλι.
    Ας δούμε λοιπόν και μια «ύπουλη» λύση .

    Στην παράλληλη από το ${\rm A}$ πρός στην ${\rm B}\Gamma $ θεωρώ δύο σημεία .
    1. το ${\rm E}$ προς το μέρος του ${\rm B}$ με ${\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Gamma $ και
    2. το ${\rm Z}$ προς το μέρος του $\Gamma $ με ${\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm B}$.
    Η διασταύρωση των ${\rm B}{\rm Z}$ και $\Gamma {\rm E}$δίδει το ζητούμενο έγκεντρο.

    Όσο για την άσκηση όλα θα γίνουν με την ώρα τους .
    Όπως είπε χθες στο mathematica ένας σοφός :
    Τα ψιλά βουνά έχουν και μεγάλες χαράδρες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Βεβαίως και μου άρεσε ή λύση σου Φώτη .

    Άλλωστε στην προσπάθεια μου να δώσω κι εγώ μια λύση με μετρικές σχέσεις μου "βγήκε" η τελευταία λύση που την θεωρώ "ύπουλη" αφού ουσιαστικά , εμμέσως πλην σαφώς , κατασκευάζω τις δύο διχοτόμους.!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
    2. Μια άσκηση που στηρίζεται στο δικό μου τρόπο σκέψης, είναι η ακόλουθη: Τα μήκη β και γ των πλευρών ΑΓ και ΑΒ, αντίστοιχα, ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με υποτείνουσα ΑΓ ικανοποιούν τη σχέση: 3β^2-2βγ-5γ^2=0. Αν ονομάσουμε Δ το έγκεντρο και Ε το βαρύκεντρο του τριγώνου, να αποδειχθεί ότι η ΔΕ είναι κάθετη στην ΑΒ. Θεωρείται καλή άσκηση, όποιος θέλει ας την προσπαθήσει.

      Διαγραφή