Ποιο είναι μεγαλύτερο:
\[ \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2014}\sin^{2014}x\ dx}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2013}\sin^{2013}x\ dx}\ \text{ή}\ \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2011}\sin^{2011}x\ dx}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2012}\sin^{2012}x\ dx}\ ? \]
kunihiko Chikaya
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έστω Ι(ν) το ολοκλήρωμα με εκθέτη ν. Αν βρω την παράγωγο του Ι(ν) ως προς ν τότε αυτή είναι θετική και επομένως έχουμε
ΑπάντησηΔιαγραφήΙ(2014)>Ι(20013) και Ι(2012)>Ι(2011). Αν πολλαπλασιάσουμε τις ανισώσεις παίρνουμε Ι(2014)Ι(2012)>Ι(2013)Ι(2011) και τελικά Ι(2014)/Ι(2013)>Ι(2011)Ι(2012)