Σάββατο 21 Φεβρουαρίου 2015

Στη σωστή θέση

Οι επιβάτες ενός αεροπλάνου περιμένουν στη σειρά για να επιβιβαστούν σε ένα αεροπλάνο 100 θέσεων. Ο Γιάννης είναι ο πρώτος επιβάτης στη γραμμή. Μπαίνει στο αεροπλάνο, αλλά επειδή έχασε το εισιτήριο του διαλέγει μια θέση στην τύχη. 
Μετά από αυτόν, κάθε επιβάτης που μπαίνει στο αεροπλάνο κάθεται στην θέση του, αν είναι διαθέσιμη, αλλιώς επιλέγει τυχαία ένα άλλο κάθισμα και κάθεται. Η πτήση είναι πλήρης και εσύ είσαι ο τελευταίος στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα να καθίσεις στην θέση που αναγράφει το εισιτήριό σου;

12 σχόλια:

  1. Ενδιαφέρον, κάπου το έχω ξαναδεί, στο διάστημα των σχεδόν $3$ χρόνων που ασχολούμαι με γρίφους αρχικά και διασκεδαστικά μαθηματικά και όχι μόνον στη συνέχεια και θυμόμουν με κάποια αμφιβολία το αποτέλεσμα – έκπληξη. Η πιθανότητα να καθίσω στην θέση μου είναι $\dfrac{1}{2}$.
    Γνωρίζοντας το αποτέλεσμα βρήκα σχετικά εύκολα και το γιατί και πως είναι $\dfrac{1}{2}$.
    Ο Γιάννης, $1$-ος ή θα καθίσει στην θέση του, $(1)$,την δική του και οι υπόλοιποι πλήν εμού κάθονται στις θέσεις τους και μένει η $100$η για μένα, ή θα καθίσει στην δικήμου $100$η, οι υπόλοιποι κάθονται στις θέσεις του και μένεο για μένα η $1$η θέση. Σκορ $1-1$ και $P=\dfrac{1}{2}$
    ή θα καθίσει σε οποιαδήποτε από την $2$ έως και την $99$ θέση. Έστω ότι καθίσει στη $10$η θέση. Οι $2,3,4,...,9$ος κάθονται στις θέσεις τους και ο $10$ος βρίσκει τη θέση του πιασμένη και θα καθίσει, (πάλι ο ίδιος συλλογισμός), ή στην στην $1$η και οι υπόλοιποι βρίσκουν τις θέσεις του και μένει ελεύθερη η θέση $100$ για μένα ή θα καθίσει στην θέση μου, οι υπόλοιποι βρίσκουν τις θέσεις τους και μένει για μένα η θέση $1$. Πάλι σκορ $1-1$ και $P=\dfrac{1}{2}$
    ή θα καθίσει σε μία τις υπόλοιπες θέσεις και το παιχνίδι συνεχίζεται και πάλι η ίδια διαδικασία με τις προηγούμενες και στην χειρότερη περίπτωση που φτάνουμε στον $99$ο επιβάτη που βρίσκει την θέση του κατειλημμένη και θα καθίσει αναγκαστικά σε μία από τις δύο εναπομείνασες ελεύθερες θέσεις, την $1$η ή την $100$η.
    Πιθανότητα για μια από τις δύο θέσεις $P=\dfrac{1}{2}$
    Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση και για οποιονδήποτε δυνατό συνδυασμό καθίσματος των επιβατών στις θέσεις του αεροπλάνου η πιθανότητα είναι η ίδια.
    $P=\dfrac{1}{2}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Φυσικά οι επιβάτες που περιμένουν στην σειρά για να επιβιβασθούν στο αεροπλάνο έστω $1$ος, $2$ος,... ,$99$ος με εμένα $100$ο μπορούμε να έχουμε ο καθένας οποιονδήποτε αριθμό θέσης από τις $100$ χωρίς να αλλάζει σε τίποτα την λύση του προβλήματος.
      Επέλεξα την αντιστοιχία $1$ος επιβάτης στην $1$η θέση, $2$ος επιβάτης στην $2$η θέση,...,$100$ος (ο ίδιος) στην $100$ θέση, χωρίς βλάβη της γενικότητας, για να γίνει ευκολότερη η περιγραφή της λύσης.

      Διαγραφή
    2. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
  2. Ευθύμη καλησπέρα.
    Να σου λύσω την απορία, για το που ε'ιδες το παρόμοιο πρόβλημα. Δες εδώ:
    http://eisatopon.blogspot.gr/2013/08/blog-post_23.html

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Καλησπέρα Κάρλο.
    Αυτό είναι και σωστά αμυδρά θυμόμουν ότι απλά το είχα ξαναδεί, δεν το είχα λύσει. Ευχαριστώ!
    Έχεις πολύ δυνατή μνήμη!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Ευθύμη, δεν είναι μόνο θέμα μνήμης, αλλά και τήρησης αρχείου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Η πιθανοτητα να μην κατσω στη θεση μου θα ισουτε με το γινομενο των πιθανοτητων των 99 προηγουμενων επιβατων να μην κατσουν ο καθε ενας τους στην θεση του δηλ. (99/100)*(98/99)*(97/98).......(3/4)*(2/3)*(1/2)=1/100 εγιναν απαλοιφες ! Αρα η πιθανοτητα του συμπληρωματικου του γεγονοτος δηλ να κατσω στην θεση μου θα ειναι 1-(1/100)=99/100

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Η πιθανοτητα να μην κατσω στη θεση μου θα ισουτε με το γινομενο των πιθανοτητων των 99 προηγουμενων επιβατων να μην κατσουν ο καθε ενας τους στην θεση του δηλ. (99/100)*(98/99)*(97/98).......(3/4)*(2/3)*(1/2)=1/100 εγιναν απαλοιφες ! Αρα η πιθανοτητα του συμπληρωματικου του γεγονοτος δηλ να κατσω στην θεση μου θα ειναι 1-(1/100)=99/100

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Διορθώνω ότι ο γρίφος υπάρχει δημοσιευμένος στο grifoi.org του Πάνου Τσικογιαννόπουλου από τις 23-10-09

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Ας μου επιτρέψει ο Πάνος να επιχειρήσω και μια περίληψη της λύσης του, όπως την καταλαβαίνω ο ίδιος:
    Αν κάποιος από τους προηγούμενους 99 (και ο Γιάννης σε αυτούς) μην ξέροντας ή μη βρίσκοντας άδεια τη θέση του επιλέξει στην τύχη τη θέση του Γιάννη, τότε εγώ θα βρω άδεια και θα κάτσω στη θέση μου. Αν αντίθετα κάποιος από τους προηγούμενους 99 μην ξέροντας ή μη βρίσκοντας άδεια τη θέση του επιλέξει στην τύχη τη δική μου θέση, τότε εγώ δε θα βρω άδεια τη θέση μου και θα κάτσω αλλού (νομίζω στη θέση του Γιάννη). Θα συμβεί ή το ένα ή το άλλο, αποκλειστικά, με ίσες πιθανότητες. Άρα έχω 50% πιθανότητα να κάτσω στη θέση μου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Ωραία και κατανοητή η περίληψη που εκανες Θανάση. Σε ευχαριστώ και για την αναφορά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή