Τετάρτη 18 Φεβρουαρίου 2015

Max

Έστω $Α,Β,Γ$ μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε $Α+Β+Γ=10$. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της παράστασης: 
$Α \times Β \times Γ+Α \times Β+Α \times Γ+Β \times Γ$?
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 18.2.15
Ετικέτες

4 σχόλια:

  1. stratos19 Φεβρουαρίου 2015 στις 11:47 π.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. stratos19 Φεβρουαρίου 2015 στις 11:49 π.μ.

    Από την ισότητα:
    (Α+1)(Β+1)(Γ+1)=ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ+Α+Β+Γ+1, και με δεδομένο ότι Α+Β+Γ=10, προκύπτει:

    ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ=(Α+1)(Β+1)(Γ+1)-11.

    Οι 3 αριθμοί (Α+1), (Β+1), (Γ+1), έχουν σταθερό άθροισμα (13), επομένως το γινόμενο τους μεγιστοποιείται όταν αυτοί γίνουν ίσοι, και δεδομένου ότι είναι ακέραιοι, όταν πάρουν τις τιμές 4,4 και 5.

    Αρα η ζητούμενη παράσταση μεγιστοποιείται για τιμές των Α,Β, Γ ίσες με 3,3 και 4, παίρνοντας τη τιμή 69

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. papadim20 Φεβρουαρίου 2015 στις 12:00 μ.μ.

    Μπράβο Στράτο, πολύ ωραία λύση!
    Μια εναλλακτική λύση / απόδειξη, για τη γενική περίπτωση Α+Β+Γ=ν (ν≥0) θα μπορούσε να διατυπωθεί επαγωγικά ως εξής:
    Έστω ότι Α≥Β≥Γ≥0 και φ(Α,Β,Γ)=ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ.
    Η υπόθεση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι η εξής:
    Αν ν=0mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=Β=Γ=ν/3
    Αν ν=1mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=ceiling(ν/3) και Β=Γ=floor(ν/3)
    Αν ν=2mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=Β=ceiling(ν/3) και Γ=floor(ν/3)
    Η υπόθεση εύκολα επιβεβαιώνεται για τις στοιχειώδεις περιπτώσεις ν=0,1,2 ή ν=3,4,5
    Δεχόμενοι τώρα ότι ισχύει για οποιοδήποτε ν≥0, εύκολα αποδεικνύουμε ότι ισχύει και για ν+1, αφού με Α≥Β≥Γ θα είναι:
    (Α+1)ΒΓ+(Α+1)Β+(Α+1)Γ+ΒΓ ≤ Α(Β+1)Γ+Α(Β+1)+ΑΓ+(Β+1)Γ ≤ ΑΒ(Γ+1)+ΑΒ+Α(Γ+1)+Β(Γ+1)
    Αυτό δείχνει ότι σε κάθε αύξηση του ν κατά 1, το νέο μέγιστο επιτυγχάνεται όταν την προστιθέμενη μονάδα την παίρνει ο μικρότερος ακέραιος.
    Επομένως για ν=10≡1mod3, θα είναι Α=4, Β=Γ=3 και maxφ=69

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)