5 - Να βρεθεί η γωνία x

(Γεωμετρική λύση)

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο φίλος Νίκος Φραγκάκης (2ο Λύκειο Ιεράπετρας):

Λύση

Έστω $DA = DB = BC = R$ . γράφω το ημικύκλιο $(B,R)$ που θα διέρχεται από τα $C,D$. Έστω $EZ$ η διάμετρος  του ημικυκλίου με το $A$ ανάμεσα στα $E,B$.

Επειδή $\widehat E = \dfrac{{180^\circ  - 72^\circ }}{2} = 54^\circ $ θα είναι $ED = {\lambda _5} = \dfrac{R}{4}(\sqrt 5  + 1) = \dfrac{{R\phi }}{2}\,\,$ με $\boxed{\phi  = \dfrac{{\sqrt 5  + 1}}{2}}$ . Αν οι $ED,BC$ τέμνονται στο $T$ θα είναι : $T\widehat BE = 72^\circ  + 24^\circ  = 96^\circ $ και άρα $\widehat T = 180^\circ  - 54^\circ  - 96^\circ  = 30^\circ $ . Αν φέρουμε το απόστημα $BM$ προς την $ED = {\lambda _5}$ θα είναι $BM = {a_5} = \dfrac{R}{4}(\sqrt 5  + 1) = \dfrac{{R\phi }}{2}\,\,$ και άρα $BT = 2MB = R\phi  \Rightarrow CT = BT - BC = R\phi  - R = R(\phi  - 1)$ δηλαδή $\boxed{CT = R(\phi  - 1)}\,\,(1)$

Από την άλλη μεριά

$AB = {\lambda _{10}} = \dfrac{R}{2}(\sqrt 5  - 1) = \dfrac{R}{\phi }\,\,$.  Δηλαδή  $\boxed{AB = \dfrac{R}{\phi }}\,\,(2)$

Επειδή $\dfrac{{BA}}{{AE}} = \dfrac{{\dfrac{R}{\phi }}}{{R - \dfrac{R}{\phi }}} = \dfrac{1}{{\phi  - 1}} = \phi $ και 
$\dfrac{{BC}}{{CT}} = \dfrac{R}{{R(\phi  - 1)}} = \dfrac{1}{{\phi  - 1}} = \phi $ 
θα είναι
$\dfrac{{BA}}{{AE}} = \dfrac{{BC}}{{CT}} \Rightarrow ET//BC$ και άρα $\widehat x = E\widehat DB = \widehat E = 54^\circ $.