Αν $Α$ είναι το άθροισμα των απολύτων τιμών των ριζών της εξίσωσης:
$x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}$
τότε $Α^2=?$
Από Μαθηματικό Διαγωνισμό των Η.Π.Α.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
$x=\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+ \dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}=$
ΑπάντησηΔιαγραφή$\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\dfrac{\sqrt{19}x+91}{x}}}}}= $
$\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\dfrac{110x+91\sqrt{19}}{91+x\sqrt{19}}}}}=$
$\sqrt{19}+\dfrac{91}{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\dfrac{201\sqrt{19}x+10010}{110x+91\sqrt{19}}}}=$
$\sqrt{19}+\dfrac{91}{\dfrac{13829x+18291\sqrt{19}}{201\sqrt{19}x+10010}}\Rightarrow$
$x=\dfrac{32120\sqrt{19}x+1258439}{13829x+18291\sqrt{19}}\Rightarrow$
$ 13829x^2-13829\sqrt{19}x- 1258439=0\Rightarrow$
$x_{1}=\dfrac{\sqrt{383}+\sqrt{19}}{2},\ x_{2}=-\dfrac{\sqrt{383}-\sqrt{19}}{2}$
Άρα $A=\dfrac{\sqrt{383}+\sqrt{19}}{2}+\dfrac{\sqrt{383}-\sqrt{19}}{2}\Rightarrow $
$\boxed{A=\sqrt{383}}\Rightarrow$ $\boxed{A^2=383}$
Μάλλον θα υπάρχει και κομψός τρόπος επίλυσης...
Γεια σου Ευθύμη . Ας δούμε μια άλλη άποψη
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω $f(x) = \sqrt {19} + \dfrac{{91}}{x}\,\,\,,x \ne 0\,\,\,(1)$ .Η εξίσωση $f(x) = x$ δίδει ρίζες ${x_{1,2}} = \dfrac{{\sqrt {19} \pm \sqrt {383} }}{2}$ και προφανώς $|{x_1}| + |{x_2}| = \sqrt {383} $ (1).
Έχουμε : $f(f(x)) = \sqrt {19} + \dfrac{{91}}{{f(x)}}\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,x,f(x) \ne 0$ . Πάμε τώρα να λύσουμε την εξίσωση $f(f(x)) = x \Leftrightarrow \sqrt {19} + \dfrac{{91}}{{f(x)}} = x$ και λόγω της $(1)$ γράφεται : $f(x) - \dfrac{{91}}{x} + \dfrac{{91}}{{f(x)}} = x \Leftrightarrow \boxed{f(x) + \dfrac{{91}}{{f(x)}} = x + \dfrac{{91}}{x}}$ .Η τελευταία όμως είναι ισοδύναμη με την $f(x) = x$. Κατά συνέπεια και η εξίσωση $f(f(f(f(f(x))))) = x$ έχει λύσεις τις λύσεις της $f(x) = x$ με $A = |{x_1}| + |{x_2}| = \sqrt {383} \Rightarrow \boxed{{A^2} = 383}$.
Φραγκάκης Νίκος ( Doloros) 2ο Γενικό Λύκειο Ιεράπετρας
Γεια σου Νίκο
ΑπάντησηΔιαγραφήΚομψή, τέλεια λύση!, όπως το διαισθάνθηκα και εμμέσως πλην σαφώς το ζήτησα ("Μάλλον θα υπάρχει και κομψός τρόπος επίλυσης...")
Σε ευχαριστώ!