Η πιθανότητα να φέρουμε "κεφάλι" ρίχνοντας ένα ελαττωματικό κέρμα είναι $\dfrac{2}{3}$. Αν το νόμισμα ριχθεί 50 φορές, ποια είναι η πιθανότητα ο συνολικός αριθμός των "κεφαλών" να είναι άρτιος αριθμός;
Από μαθηματικό διαγωνισμό του Πανεπιστημίου Στάνφορντ (Η.Π.Α)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Υπάρχει μάλλον κάποιο σφάλμα στη διατύπωση του ερωτήματος, αφού ο αριθμός των κεφαλών θα είναι σε κάθε περίπτωση ακέραιος.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠερισσότερο ενδιαφέρον θα είχε ίσως να δούμε την πιθανότητα να είναι άρτιος ή περιττός.
Αν A είναι η πιθανότητα να έρθει άρτιος αριθμός κεφαλών και Π η πιθανότητα να έρθει περιττός, έχουμε Α+Π=1 (1).
Αν τώρα πάρουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα της παράστασης (2/3-1/3)^50, θα δούμε ότι οι θετικοί του όροι είναι οι πιθανότητες που αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα άρτιων κεφαλών και οι αρνητικοί του όροι στα ενδεχόμενα περιττών κεφαλών.
Επομένως Α-Π=(2/3-1/3)^50 => Α-Π=(1/3)^50 (2).
Από τις (1) και (2), εύκολα προκύπτει ότι Α=[1+(1/3)^50]/2 και Π=[1-(1/3)^50]/2.
Σωστά! Το σωστό ερώτημα είναι: .... να είναι άρτιος αριθμός. Ευχαριστώ πολύ papadim!
ΑπάντησηΔιαγραφή