Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Δύο ωραία επαναληπτικά θέματα

1. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση  με

$f'(x)\neq0$,$f(ln4)=1$, $f(ln\dfrac{1}{4})=-2$ 

και ισχύει  

, για κάθε

Α) Να δείξετε ότι

                                     , για κάθε .

Β) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο .

Γ) Αν $a,b\in{R}$, με  , τότε

i) να εκφράσετε το ολοκλήρωμα 

 

συναρτήσει των

ii) να υπολογίσετε τα

  και

Δ) Να δείξετε ότι 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2. Έστω συνεχής συνάρτηση 

  , με

Α. Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο με

  και

α) να δείξετε ότι

 

β) να δείξετε ότι υπάρχουν , με τέτοια, ώστε 

Β. Αν και

 

α) να δείξετε ότι η $f$ δεν είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της

β) να υπολογίσετε το
Πηγή
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com