Έστω αριθμοί $a,b,c$ για τους οποίους ισχύει
$\dfrac{a}{b+ c}= \dfrac{b}{c+a} = \dfrac{c}{ a + b} = k$.
Να βρεθούν οι πιθανές τιμές για τον αριθμό $k$.
Senior Kangaroo Mathematical Challenge 2015
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Με κάθε επιφύλαξη, βλέπω πιθανές τιμές γα το $k$, τις τιμές
ΑπάντησηΔιαγραφή$\boxed{k=\dfrac{1}{2},a+b+c \neq 0}$ και $\boxed{k=-1,a+b+c=0}$
για $a+b+c \neq 0$
$\dfrac{a}{b+c}=k \Rightarrow a=k(b+c)\ (1)$
$\dfrac{b}{c+a}=k \Rightarrow b=k(c+a)\ (2)$
$\dfrac{c}{a+b}=k \Rightarrow c=k(a+b)\ (3)$
$(1)+(2)+(3)\Rightarrow$ $a+b+c=2k(a+b+c)\Rightarrow \boxed{k=\dfrac{1}{2}}$
για $a+b+c =0 \Rightarrow a=$ $-(b+c) \wedge b=$ $-(c+a) \wedge c=-(a+b)$, οπότε
$\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}\Rightarrow$ $\dfrac{a}{-a}=\dfrac{b}{-b}= \dfrac{c}{-c}=-1\Rightarrow$ $\boxed{k=-1}$