Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο.
Να αποδειχθεί ότι
$(ADE) = \dfrac{x(x+y)}{4}$.
Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος Νίκος Φραγκάκης (Doloros) καθηγητής στο 2ο Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας:
Αν η κάθετη στην $AE$ στο $F$ κόψει την $BC$ στο $T$, τα σημεία $E,C,T,F$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο που τέμνει τη διαγώνιο $AC$ στο $S$.
Θέτουμε $RC = u$ άρα $k = DE = a - u$. Όπου $a$ το μήκος της πλευράς του τετραγώνου.
Έτσι θα έχουμε:
$\dfrac{{x(x + y)}}{4} = \dfrac{{AF \cdot AE}}{4} = \dfrac{{AS \cdot AC}}{4}\,\,(1)$.
Αλλά $AS = AC - SC = a\sqrt 2 - u\sqrt 2 $ και ή (1) γίνεται:
$\dfrac{{x(x + y)}}{4} = \dfrac{{2{a^2} - 2au}}{4} = \dfrac{{a(a - u)}}{2} = (ADE)$.
Ευχαριστώ τον μηχανικό Κ. Αλεξίου για την υπόδειξη της απροσεξίας μου στην προηγούμενη ανάρτηση την οποία και τροποποίησα όπως πιο πάνω.
$7/2/2016$
Φραγκάκης Νίκος ( Doloros) 2ο ΓΕΛ Ιεράπετρας
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ας είναι $M$ μέσον του $AF$ και $DK$ ύψος του $\triangle ADE$.
ΑπάντησηΔιαγραφήΦέρω την $BM$ και την προεκτείνω μέχρι να τμήσει την $AD$ στο $Z$.
$\triangle ADE =\triangle BAZ$, αφού $AD=AB$ και $\angle DAE=\angle ABZ$,
άρα $\boxed{DE=AZ}$ και επειδή $ DE=AZ\ \wedge\ \angle EDK=\angle ZAM\Rightarrow$
$\triangle EDK=\triangle ZAM\Rightarrow$ $DK=AM=\dfrac{AF}{2}\Rightarrow$ $\boxed{DK=\dfrac{x}{2}}$
Είναι $(ADE)=\dfrac{AE\cdot DK}{2}=$ $\dfrac{(x+y)x/2}{2}\Rightarrow$
$\boxed{\boxed{(ADE)=\dfrac{x(x+y)}{4}}}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.