Παρασκευή 5 Φεβρουαρίου 2016

Διαφορά τριάντα μοιρών

Φέρουμε σε ένα τρίγωνο $ABC$ τις διχοτόμους $AA_1$ $BB_1$ και $CC_1$ των εσωτερικών γωνιών. 
Να αποδείξετε ότι, αν
$\angle{ABC} = 120^0$, 
τότε      $\angle{A_{1}B_{1}C_{1}} = 90^0$.
Περιοδικό Quantum (V. Yegorov)
Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος Νίκος Φραγκάκης (Doloros) καθηγητής στο 2ο Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας:
Ας είναι $K\,,\,L\,,\,T$ οι προβολές του ${C_1}$ στις ευθείες $AC\,,\,B{B_1}\,,\,CB$ αντίστοιχα. 
Προφανώς ${C_1}K = {C_1}T\,\,(1)$ ( χαρακτηριστική ιδιότητα της διχοτόμου $C{C_1}$). Όμως τα ορθογώνια τρίγωνα $LB{C_{1\,\,}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB{C_1}$ έχουν κοινή υποτείνουσα $B{C_1}$ και στο $B$ τις οξείες γωνίες τους από $60^\circ $ και συνεπώς είναι ίσα, οπότε θα έχουν ${C_1}L = {C_1}T\,\,\,(2)$. Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ προκύπτει : $\boxed{{C_1}K = {C_1}L}$ που μας εξασφαλίζει ότι η ${B_1}{C_1}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat {B{B_1}A}$ και με όμοιο τρόπο η ${B_1}{A_1}$ είναι διχοτόμος της $\widehat {B{B_1}C}$.
Θα είναι αναγκαστικά τώρα $\widehat {{A_1}{B_1}{C_1}} = 90^\circ $ γιατί οι διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα.

Αλλιώς:
Στο τρίγωνο $B{B_1}C$ το ${C_1}$ είναι παράκεντρο στην πλευρά $B{B_1}$ αφού η $C{C_1}$ είναι εσωτερική διχοτόμος της απέναντι γωνίας και η $B{C_1}$ είναι εξωτερική διχοτόμος της γωνίας του στο $B$.
Άμεση συνέπεια: Η ${B_1}{C_1}$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat {B{B_1}A}$ …
5/2/2016
Φραγκάκης Νίκος (Doloros) 2ο Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου