1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)$ με $\angle{A}=108^0$ και η διχοτόμος του $ΓΔ$. Από το σημείο $Δ$ φέρνουμε την κάθετη στην διχοτόμο $ΓΔ$ που τέμνει την $ΒΓ$ στο σημείο $Ε $ και την προέκταση της $ΓΑ$ στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι:
α. Το τρίγωνο $ΖΕΓ$ είναι ισοσκελές
β. Το τρίγωνο $ΒΕΔ$ είναι ισοσκελές.
γ. $ΒΕ = ΔΑ$.
2. Δίνεται τραπέζιο $ΑΒΓΔ$ με $ΑΒ // ΓΔ$. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Α$ και $Δ $ τέμνονται στο σημείο $Η$ και οι εξωτερικές στο σημείο $Ε$. Επιπλέον οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Β$ και $Γ$ τέμνονται στο $Ζ$.
α. Να δείξετε ότι η γωνία $ΑΕΔ$ είναι ορθή.
β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο $ΑΕΔΗ$ είναι ορθογώνιο.
γ. Να υπολογίσετε την $ΕΖ$ ως συνάρτηση της περιμέτρου α του τραπεζίου $ΑΒΓΔ$.
3. Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Δ$ τυχαίο σημείο της $ΒΓ$. Έστω $ΔΚ=//ΒΑ$ και $ΔΛ=//ΓΑ$.
Αν οι $ΔΚ, ΔΛ$ τέμνουν τις $ΑΓ, ΑΒ$ στα $Ζ, Ε$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:
i. Τα $Κ, Α, Λ$ είναι συνευθειακά.
ii. Τα τρίγωνα $ΛΑΕ, ΓΔΖ$ είναι ίσα.
iii. Οι $ΓΛ, ΑΔ, ΚΒ$ και $ΕΖ$ συντρέχουν.
4. Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$, το ύψος του $ΑΔ$. Αν η διχοτόμος του $ΒΕ$, τέμνει την $ΑΔ$ στο $Ζ$ και η κάθετη από το $Ζ$ στην $ΑΒ$ τέμνει την $ΒΓ$ στο $Λ$, να δείξετε ότι:
i. Τα τρίγωνα $ΑΚΖ$ και $ΛΔΖ$ είναι ίσα.
ii. Η $ΒΖ $είναι κάθετη στη $ΑΛ$.
iii. Η $ΖΜ$ είναι διχοτόμος της $angle{ΑΖΛ}$.
5. Δίνεται ορθογώνιο $ΑΒΓΔ$. Η κάθετος από το $Α$ στην $ΒΔ$ τέμνει τις $ΒΔ$ και $ΓΔ$ στα $Ε, Ζ$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:
i. Το $ΕΖΓΒ$ είναι εγγράψιμο.
ii. Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος στο $ΕΖΓΒ$ τέμνει την $ΑΒ$ στο $Η$ τότε $ΗΒ=ΖΓ$.
iii. $ΔΗ=ΑΖ$.
6. Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $\angle{A}=120^0$.Θεωρούμε τα σημεία $Δ, Ε$ επί της $ΒΓ $ τέτοια ώστε $ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ$ και το ισόπλευρο τρίγωνο $ΑΖΓ$ με τα $Α,Ζ$ εκατέρωθεν της $ΒΓ$. Να δείξετε ότι:
i. Το τρίγωνο $ΑΔΕ$ είναι ισοσκελές.
ii. Το $Ε$ είναι κέντρο βάρους του $ΑΓΖ$.
iii. Το τρίγωνο $ΑΔΕ$ είναι ισόπλευρο.
Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄» τ. 92
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου