Τρίτη, 7 Ιουνίου 2016

Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015 - Μικρή Λίστα (Άλγεβρα)

Α1. Για την ακολουθία των θετικών πραγματικών ισχύει ότι:
   
για κάθε θετικό ακέραιο .
Να αποδείξετε ότι 
 
για κάθε

A2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την 
 
για κάθε .

A3. Σταθεροποιούμε έναν θετικό ακέραιο . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του 
όπου για κάθε .

A4. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την 
 
για όλους τους πραγματικούς και .

Α5. Με συμβολίζουμε το σύνολο των περιττών ακεραίων. 
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις
   
που είναι τέτοιες ώστε 
 
για κάθε

A6. Σταθεροποιούμε έναν ακέραιο . Θα λέμε ότι δύο πολυώνυμα και με πραγματικούς συντελεστές είναι όμοια αν για κάθε οι ακολουθίες
 
και
   
είναι μετάθεση η μία της άλλης. 
α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού που είναι όμοια.
β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού που είναι όμοια.
Πηγή

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου