Η άσκηση της ημέρας (17 - 10 - 2016)

Αν κάθε τετράγωνο έχει μία κορυφή στο κέντρο του προηγούμενου, να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας..

Λύση

Γράφει ο Κώστας Δόρτσιος

Θεωρούμε κατ’ αρχήν τα δύο πρώτα τετράγωνα στο κατωτέρω σχήμα:

Εύκολο είναι να δειχθεί ότι τα τρίγωνα $(O_1BZ)$ και $(O_1CE)$ είναι ίσα, διότι έχουν $O_1B=O_1Z$ και τις προσκείμενες αυτών γωνίες αντίστοιχα ίσες.

Επομένως το τετράπλευρο $(O_1ECZ)$είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο $(O_1BZ)$ το οποίο είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του τετραγώνου $(ABCD)$. 

Άρα το συνολικό εμβαδόν που δημιουργείται από την τοποθέτηση των δύο αυτών τετραγώνων είναι:

\[E\left( ABZHKLEDA \right)=2E-\frac{1}{4}E=\frac{3}{4}E\]

όπου $E$ το εμβαδόν του κάθε τετραγώνου. 

• Αν τώρα θεωρήσουμε πέντε τετράγωνα στη σειρά και όπως περιγράφει η άσκηση αυτή τότε θα έχουμε το σχήμα:

Στην περίπτωση αυτή είναι φανερό ότι το συνολικό πολύγωνο που σχηματίζεται από τα πέντε αυτά ίσα τετράγωνα είναι:

$E\left( o\lambda \iota \kappa \right)=5E-4\cdot \frac{1}{4}E=4E$

• Γενικεύοντας για $n$ με $n\ge4$ τετράγωνα εύκολα προκύπτει ότι το εμβαδόν που σχηματίζεται σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος θα είναι:

$E\left( o\lambda \iota \kappa  \right)=nE-\left( n-1 \right)\cdot \frac{1}{4}E=\frac{3n+1}{4}E$.

* * *

Κάντε κλικ στα παρακάτω σχήματα, για να δείτε τα δύο αρχεία geogebra: