Δίνονται οι συνεχείς στο
συναρτήσεις 
και 
για τιςοποίες ισχύουν:
για κάθε
.
- Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο
.
και
είναι δύο διαδοχικές ρίζες της
.
Να αποδείξετε ότι:
α) η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .
διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .
β) 
για κάθε 
.
για κάθε .
γ) 
α) Επειδή η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και δεν μηδενίζεται θα διατηρεί πρόσημο και μάλιστα θα είναι $f(x) < 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ επειδή $f(2) = - 1$.
ΑπάντησηΔιαγραφήβ) Και η συνάρτηση $g$ όμως ως συνεχής και μη μηδενιζόμενη στο διάστημα $( - 1,5)$ θα διατηρεί πρόσημο σ αυτό , αφού δε $g(2) = - 1 < 0$ θα είναι $g(x) < 0$ για κάθε $x \in ( - 1,5)$.
γ) Επειδή $f(3) < 0\,\,$και $g(2) = - 1 < 0$ θα είναι , $\dfrac{{f(3)}}{{g(2)}} > 0$ , οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } \dfrac{{f(3) \cdot {x^4} + 2{x^2} + 1}}{{g(2) \cdot {x^3} + 5}} = \dfrac{{f(3)}}{{g(2)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } x = - \infty $
Νίκος Φραγκάκης