Του Θανάση Ξένου
56. Μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη μεκαι , για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του , ώστε για κάθε να ισχύει .
γ) Να λυθεί στο διάστημα η εξίσωση
--------------
α) Να αποδειχθεί ότι και .
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης και να εξετασθεί αν υπάρχουν με .
δ) Να αποδειχθεί ότι
--------------
58. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με και για κάθε .α) Να αποδειχθεί ότι
(i) και
(ii) .
β) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.
γ) Να βρεθεί η συνάρτηση .
δ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις και την ευθεία .
--------------
59. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με καιγια κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων της και της καμπύλης .
γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
δ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
ε) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με γενικό όρο
--------------
60. Μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη μεκαι
για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι
(i) και
(ii) .
β) Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα και να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει
δ) Να βρεθεί το όριο .
--------------
61. Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο μεκαι
για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι
β) Να εξετασθεί αν η είναι παραγωγίσιμη στο .
γ) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
--------------
62. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με καιγια κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι .
β) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
και .
γ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες , τον άξονα και την ευθεία .
--------------
και το ελάχιστο της συνάρτησης .
α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα .
β) Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης
δ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός με
ε) Επιπλέον, αν η είναι παραγωγίσιμη και έχει συνεχή παράγωγο, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
--------------
64. Μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη μετο όριο της ακολουθίας με γενικό όρο και
για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι
(i) και
(ii) .
β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός με . Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία.
γ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει
(i) και
(ii) .
δ) Να βρεθεί το όριο .
ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , τον άξονα και τις ευθείες και .
--------------
β) Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις με για κάθε και
για κάθε .
Αν επιπλέον η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο , τότε:
γ) Να αποδειχθεί ότι .
δ) Αφού βρεθεί ο θετικός αριθμός , ώστε για κάθε να ισχύει , να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
--------------
66. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με καιγια κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες και το σύνολο τιμών της .
γ) Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με και
για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι
--------------
67. Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει, όπου .
α) Να αποδειχθεί ότι .
β) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
γ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει
ε) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
--------------
68. Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο μεγια κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι
β) Να εξεταστθεί αν η είναι παραγωγίσιμη στο .
γ) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο .
δ) Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης .
ε) Να αποδειχθεί ότι η δεν έχει καμία ασύμπτωτη.
Πηγή
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου