Δευτέρα, 17 Ιουλίου 2017

Τεράστια πίτσα

Από μια τεράστια πίτσα θα πάρουν από ένα κομμάτι 100 άτομα. Ο πρώτος θα πάρει το 1% της πίτσας, ο δεύτερος θα πάρει το 2% της υπόλοιπης πίτσας, ο τρίτος το 3% του υπολοίπου και ούτω καθεξής. 
Ο τελευταίος παίρνει το 100% του τελευταίου τμήματος. Ποιος θα πάρει το μεγαλύτερο κομμάτι;

4 σχόλια:

  1. Έστω Κ(ν) το κλάσμα της πίτσας που θα πάρει το άτομο ν, για ν από 1 έως 100. Έχουμε:
    Κ(ν) = ν/100*(100/100)*(99/100)*(98/100)*...*[(100-ν+1)/100] = ν*100!/[(100-ν)!*(100^(ν+1)] και
    Κ(ν+1) = (ν+1)*100!/[(100-ν-1)!*(100^(ν+2)]
    Για να είναι Κ(ν+1) > Κ(ν) πρέπει:
    (ν+1)*100!/[(100-ν-1)!*(100^(ν+2)]  > ν*100!/[(100-ν)!*(100^(ν+1)] => 100 > ν+ν^2 => 10>ν
    (διαφορετικά η σχέση των κλασμάτων αντιστρέφεται)
    Αυτό συνεπάγεται ότι τα κομμάτια της πίτσας που παίρνουν τα άτομα 2 έως 10 είναι αυξανόμενα (σε σύγκριση με τα κομμάτια των αμέσως προηγούμενων), ενώ τα κομμάτια που παίρνουν τα άτομα από 11 έως 100 είναι μειούμενα. Επομένως το μεγαλύτερο κομμάτι της πίτσας θα το πάρει το άτομο 10.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ωραία λύση Θανάση! Αν δεν κανω λάθος (είναι και η ζέστη που βαράει κατακέφαλα δω κάτω...) η λύση σου συνεπάγεται το "μπακάλικο" : o πλησιέστερος ακέραιος στη ρίζα του ν παίρνει τη μερίδα του λέοντος . Αν ήταν ας πούμε 36 ή 37 άτομα ,θα ήταν ο 6ος, κ.λ.π.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ Γιώργη, έτσι ακριβώς, ωραιότατη (και καθόλου μπακάλικη) γενίκευση! Αν δηλαδή τα άτομα είναι μ στον αριθμό και παίρνουν κατά σειρά το 1/μ, το 2/μ, ..., το μ/μ του εκάστοτε υπολοίπου, τότε αντικαθιστώντας στον τύπο Κ(ν) το 100 με το ν καταλήγουμε ότι τα κομμάτια βαίνουν αυξανόμενα όσο ν(ν+1)<μ που για ακέραια ν ισοδυναμεί με ν<√μ.

      Διαγραφή
    2. Διορθώνω: αντικαθιστώντας το 100 με το μ, όχι το ν.

      Διαγραφή