Σάββατο, 7 Οκτωβρίου 2017

Κατά $90^0$ αριστερά

Έστω κύκλος $ C_0 $ ακτίνας $1$, και  $A_0 $ ένα σημείο πάνω στον κύκλο. Ο κύκλος $ C_1 $ έχει ακτίνα $ r <1 $ και είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον $ C_0 $ στο σημείο $A_0$. 
[asy] μέγεθος (6cm);  πραγματική r = 0,8.  ζεύγος nthCircCent (int n) {ζεύγος ans = (0, 0);  για (int i = 1 · i <= n; ++ i) ans + = περιστροφή (90 * i - 90) * (r ^ (i - 1) - r ^.  επιστροφή ans;  } άκυρη dNthCirc (int n) {κλήρωση (κύκλος (nthCircCent (n), r ^ n));  } dNthCirc (0);  dNthCirc (1);  dNthCirc (2).  dNthCirc (3).  dot ("$ A_0 $", (1, 0), dir (0)).  τελεία ("$ A_1 $", nthCircCent (1) + (0, r), dir (135)).  τελεία ("$ A_2 $", nthCircCent (2) + (-r ^ 2, 0), dir (0));  [/ asy]
Το σημείο $ A_1 $ βρίσκεται στον κύκλο $C_1$, και βρίσκεται $ 90 ^0$ αριστερά από το σημείο $A_0$ στον κύκλο $ C_1$. Ο κύκλος $ C_2 $ έχει ακτίνα $r^2$ και είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον $ C_1 $ στο σημείο $ A_1$. 
Με αυτό τον τρόπο σχηματίζεται μία ακολουθία από κύκλους $ C_1, C_2, C_3 ... $ και μια ακολουθία σημείων στους κύκλους $ A_1, A_2, A_3, $ ... , όπου ο κύκλος $ C_n $ έχει ακτίνα $r ^ n $ και είναι εσωτερικά εφαπτομένος στον κύκλο $C n-1$ στο σημείο $ A_ {n-1} $, και το σημείο $A_n $ βρίσκεται επί του $C_n $, $ 90 ^0$ αριστερότερα από το σημείο $ A_ {n-1} $, όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήμα. 
Υπάρχει ένα σημείο $B$ μέσα σε όλους αυτούς τους κύκλους. Όταν $r = \dfrac{11}{60}$, η απόσταση από το κέντρο της $C_0 $ να $B$ είναι $\dfrac{m}{n}$, όπου $m$ και $n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Να βρεθεί το άθροισμα $m + n$.
AIME 2017

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου