Γpάφουμε στον μαυροπίνακα ένα σύνολο $n$ θετικών αριθμών. 'Ενας μαθητής μπορεί να διαλέξει δύο από αυτούς, να τους σβήσει και να τους αντικαταστήσει με τον αριθμό $\dfrac{α+β}{4}$.
Η συγκεκριμένη διαδικασία επαναλαμβάνεται $n -1$ φορές έως ότου απομείνει ένας μόνο αριθμός στο μαυροπίνακα. Αποδείξτε ότι αν όλοι οι $n$ αρχικοί αριθμοί ήταν ίσοι με το $1$, ο αριθμός που απομένει είναι μεγαλύτερος ή ίοος του $\dfrac{1}{n}$.
(B. Βεrlον)
Ονομάζουμε Τ(ν) τον τελικό αριθμό που γράφεται στον πίνακα με την ολοκλήρωση της διαδικασίας διαγραφών και αντικαταστάσεων των ν στο πλήθος αρχικών αριθμών 1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια ν = 1, 2, 3 υπολογίζουμε Τ(1)=1, Τ(2)=1/2, Τ(3)=3/8>1/3 και το αποδεικτέο ισχύει χωρίς άλλο.
Υποθέτοντας τώρα ότι ισχύει για όλες τις τιμές ν από 1 έως κ, θα δείξουμε ότι ισχύει και για ν=κ+1.
Έχουμε: κ+1=1+κ=2+(κ-1)=3+(κ-2)=..., οπότε οι αντίστοιχες δυνατές τιμές Τ(κ+1) είναι οι:
[Τ(1)+Τ(κ)]/4, [Τ(2)+Τ(κ-1)]/4, [Τ(3)+Τ(κ-2)]/4 κ.ο.κ.
Εφόσον όμως από την υπόθεση έχουμε Τ(μ) ≥ 1/μ και Τ(λ) ≥ 1/λ, για όλες τις τιμές μ και λ που είναι μικρότερες ή ίσες του κ, τότε για κάθε δυνατό ζευγάρι μ, λ με μ+λ=κ+1 έχουμε:
Τ(κ+1) = [Τ(μ)+Τ(λ)]/4 ≥ [1/μ+1/λ]/4 = (μ+λ)/4μλ ≥ 1/(μ+λ)=1/(κ+1), όπως προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου των μ, λ. Συγκεκριμένα:
(μ+λ)/2 ≥ √μλ => (μ+λ)^2 ≥ 4μλ => (μ+λ)/4μλ ≥ 1/(μ+λ) = 1/(κ+1)
Άρα η υπόθεση ισχύει και για ν=κ+1, και αυτό ολοκληρώνει την επαγωγική απόδειξη, οπότε το αποδεικτέο ισχύει για κάθε τιμή ν.