Διασκεδαστικά Μαθηματικά : $80402 \times S=?$

Δευτέρα 22 Ιανουαρίου 2018

$80402 \times S=?$

Αν

$\displaystyle S = \frac{1}{1+1^2+1^4} + \frac{2}{1+2^2+2^4} + \frac{3}{1+3^2+3^4} + \cdots + \frac{200}{1+200^2+200^4},$

να βρεθεί το γινόμενο $80402 \times S$ .

1 σχόλιο:

papadim24 Ιανουαρίου 2018 στις 2:43 μ.μ.
Η γενική μορφή των όρων του S είναι ν/(ν^4+ν^2+1) για ν = 1 έως 200. Αξιοποιώντας τις ταυτότητες:
ν/(ν^4+ν^2+1) = [1/(ν^2-ν+1)-1/(ν^2+ν+1)]/2 και
(ν+1)^2-(ν+1)+1 = ν^2+ν+1
εύκολα διαπιστώνουμε ότι:
S = (1-1/3+1/3-1/7+1/7-....-1/40201)/2 =
(1-1/40201)/2 = 1/2-1/80402, οπότε:
80402*S = 40201-1 = 40200.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις

Προσθήκη σχολίου

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)