Κυριακή, 4 Φεβρουαρίου 2018

Τριάντα μοίρες

Nα αποδείξετε ότι $χ=30^0$.

5 σχόλια:

  1. Το σημείο P, όπως προκύπτει από το σχήμα, είναι ένα σημείο του κύκλου (C,CA) και βρίσκεται στο εσωτερικό του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου CAB.
    Για γ.ACP=γ.CBP=x=30°:
    γ.CAP=(180°-x)/2=75° => γ.PAB=15° και
    γ.PBA=45°-x=15°, επομένως το τρίγωνο PAB είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ, οπότε το σημείο Ρ ανήκει και στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ.
    Αν το σημείο P μετακινηθεί από αυτή τη θέση, πάνω στο τόξο του κύκλου (C,CA) και στο εσωτερικό του τριγώνου CAB, τότε οι γωνίες CAP και CBP θα μεταβληθούν αντίθετα, δηλαδή η μία θα γίνει μεγαλύτερη και η άλλη μικρότερη από 30°. Επομένως μοναδική δυνατή τιμή x είναι η x=30°.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Η πιο πάνω απόδειξη είναι ίσως αρκετά ταχυδακτυλουργική, καθώς θεωρείται δεδομένο ότι αν γ.ACP=30°, τότε και γ.CBP=30°. Αυτό πάντως αποδεικνύεται αν ορίσουμε ως Π σημείο του κύκλου (C,CA) τέτοιο ώστε γ.ACΠ)=30°, και υπολογίσουμε το μήκος του ΠΑ και την απόσταση του Π από το τμήμα AΒ (με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων γωνιών 15° και 30°). Έτσι, εύκολα διαπιστώνουμε, μέσω Π.Θ., ότι η κάθετη από το Π προς το τμήμα ΑΒ το τέμνει στο μέσο του, συνεπώς τα σημεία Π και Ρ ταυτίζονται και γ.ΡΑΒ=γ.ΡΒΑ=15° => γ.CPB=30°

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. CA=CP=AB
    <CAP=<CPA=90-x/2
    <PAB=x/2
    <PBA=45-x
    <PAB+<PBA=x2+45-x2=45-x/2
    <APB=180-(45-x/2)

    Νομος ημιτονων στα τριγωνα CAP και PAB:

    PA/CA=PA/AB=sin(<ACP)/sin(<CPA)=sin(<PBA)/sin(<APB)
    sinx/sin(90-x/2)=sin(45-x)/sin(180-(45-x/2))
    2sin(x/2)cos(x/2)/cos(x/2)=sin(45-x)/sin(45-x/2)
    2sin(x/2)=sin(45-x)/sin(45-x/2)
    2sin(x/2)sin(45-x/2)=sin(45-x)
    cos(x-45)-cos45=sin(45-x)=cos(45+x)
    cos(x-45)-cos(45+x)=cos45
    2sinxcos45=cos45
    2sinx=1
    sinx=1/2
    x=30

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Γεωμετρικη λυση.
    Αρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι:
    PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30
    Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC.
    H
    CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2) -> BE=2*PE
    Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM
    Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως:
    PA=PB, ο.ε.δ.









    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Δεν ξερω γιατι το προηγουμενο σχολιο μου το μσοεφαγε η μαρμαγκα. Επανορθωνω.

    Γεωμετρικη λυση.
    Αρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι:
    PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30
    Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC.
    H γωνια EPB ως εξωτερικη του τριγωνου CPB ειναι:
    EPC=PBC+PCB=x+45-x=45
    Tα τριγωνα CEB, CPE ειναι ομοια οποτε:
    PE/CE=CE/BE=CP/BC=CA/CB=1/sqrt(2)
    CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2)
    2*PE=BE
    Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM
    Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως:
    PA=PB, ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή