35th Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ

Πρόβλημα 1

Θεωρούμε τετράπλευρο  εγγεγραμμένο σε κύκλο  με  και όπου η  δεν είναι παράλληλη στην . Οι διαγώνιοι  και  τέμνονται στο σημείο  και το σημείο είναι το ίχνος της καθέτου από το  στο τμήμα .
Αν η  είναι διχοτόμος της γωνίας , να αποδείξετε ότι η  είναι διάμετρος του κύκλου .

Πρόβλημα 2

Θεωρούμε ένα θετικό ρητό . Δύο μυρμήγκια βρίσκονται αρχικά στο ίδιο σημείο  του επιπέδου. Στο -οστό λεπτό () κάθε ένα από αυτά επιλέγει αν θα κινηθεί βόρεια, νότια, ανατολικά ή δυτικά και μετακινείται  μέτρα προς αυτήν την κατεύθυνση.

Αν μετά από ακέραιο αριθμό λεπτών τα δύο μυρμήγκια βρεθούν στο ίδιο σημείο του επιπέδου (όχι απαραίτητα στο ), χωρίς να έχουν ακολουθήσει ακριβώς την ίδια διαδρομή, να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του .

Πρόβλημα 3

Ο Σιλουανός και ο Δημήτρης παίζουν το ακόλουθο παιγνίδι έχοντας αρχικά δύο μη κενές στοίβες νομισμάτων: Εναλλάξ, με τον Σιλουανό να ξεκινάει πρώτος, κάθε παίκτης διαλέγει μία στοίβα με άρτιο αριθμό νομισμάτων και μετακινεί τα μισά νομίσματα αυτής της στοίβας στην άλλη.
Το παιγνίδι τερματίζεται όταν κάποιος από τους παίκτες δεν μπορεί να κάνει κίνηση.
Σε αυτήν την περίπτωση κερδίζει ο άλλος παίκτης.

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων  ώστε αν αρχικά οι δύο στοίβες έχουν από  και  νομίσματα αντίστοιχα, τότε ο Δημήτρης έχει στρατηγική νίκης.

Πρόβλημα 4

Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς  και  ώστε ο  να διαιρεί τον .

Για τις λύσεις κάντε κλικ εδώ.