Παρασκευή 29 Μαρτίου 2024

Νίκες στο τένις

Τέσσερα κορίτσια έπαιξαν αρκετούς αγώνες τένις στο γήπεδο. Όταν προσθέσουμε τον αριθμό των νικών των δύο κοριτσιών μαζί (για όλα τα πιθανά ζευγάρια κοριτσιών), παίρνουμε τους αριθμούς $8, 10, 12, 12, 14$ και $16$. 
Προσδιορίστε πόσες νίκες κέρδισε το καθένα από τα κορίτσια.

Εμβαδά με χρώματα [46]

Τέσσερα τετράγωνα βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα.
Να βρεθεί το εμβαδόν του πράσινου τετραγώνου.

Ελάχιστη τιμή

Η ανατολή του ήλιου αντανακλάται στο νερό

Κάθε έλλειψη (και κύκλος) έχει ένα μαγικό άθροισμα $173$. Όλα τέμνονται στο κεντρικό $1$, όπου ο «ήλιος» αγγίζει το νερό. (Από τον Michael Keith) 
[Υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος. Μπορείτε να το βρείτε;]

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [42]

Έστω
$f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y +xy^2$
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x,y$. 
Aν $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} =1$, τότε να βρεθεί η τιμή $f'(1)$. 

Video Calculus: Higher-Order Derivatives (20 minutes)

Higher-order derivatives. Concavity. Local approximation by linear, quadratic, and cubic polynomials.
Κάντε κλικ στην εικόνα.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 29/3/2024

Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\int_1^4 \dfrac{dx}{ \sqrt{x}(3+ \sqrt[4]{x})}$.

Εμβαδα με χρώματα [46]

Οι ακτίνες των δύο εφαπτόμενων κύκλων είναι $1$ και $2$. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου.

Πέμπτη 28 Μαρτίου 2024

Τρία τμήματα

Έχουμε τρία χρωματιστά τμήματα σε αυτό το κινούμενο σχέδιο. 
Παραδόξως, το μήκος του μεγαλύτερου είναι πάντα το άθροισμα του μήκους των δύο μικρότερων.

Άρρητοι, περιοδικοί, υπερβατικοί αλλά και ... ακέραιοι αριθμοί

Δωδεκάεδρο $AGEHBIFJCKDL$

Τα τρίγωνα $ABC$ και $DEF$ είναι ισόπλευρα με μήκος πλευράς $5$ cm. Αυτά τα τρίγωνα είναι τοποθετημένα το ένα πάνω στο άλλο με τέτοιο τρόπο ώστε οι πλευρές του ενός τριγώνου να είναι παράλληλες με τις πλευρές του άλλου και ότι η τομή αυτών των δύο τριγώνων είναι ένα εξάγωνο (σημειώνεται ως $GHIJKL$ στο σχήμα ).
Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η περίμετρος του δωδεκάεδρου $AGEHBIFJCKDL$ χωρίς να γνωρίζουμε πιο ακριβείς πληροφορίες για τη θέση των τριγώνων; 
Αν ναι, μετρήστε το, αν όχι, εξηγήστε γιατί.

Χρονολογική εξίσωση

Τρία κορίτσια

Στην Γαβριηλία αρέσουν οι αριθμοί που διαιρούνται με το έξι, στη Ζωή αρέσουν οι αριθμοί που περιέχουν τουλάχιστον ένα έξι και στην Βικτωρία αρέσουν οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των ψηφίων είναι $6$.
1. Ποιοι διψήφιοι αριθμοί αρέσουν και στα τρία κορίτσια;
2. Ποιοι διψήφιοι αριθμοί αρέσουν σε δύο κορίτσια, αλλά στο άλλο όχι;

Κουνελάκια και αρκουδάκια

Σε ένα εργοστάσιο υπάρχουν δύο μηχανές που παράγουν παιχνίδια. όταν η πρώτη Ο πρώτος θα βγάλει τέσσερις λαγούς ταυτόχρονα η δεύτερη βγάζει πέντε αρκουδάκια. Για να διευκολυνθεί ο έλεγχός τους, και τα δύο μηχανήματα ξεκινούν και απενεργοποιούνται ταυτόχρονα με έναν κοινό διακόπτη. 
Επιπλέον, τα μηχανήματα είναι ρυθμισμένα έτσι ώστε η  πρώτη, όταν ξεκινήσει, θα παράγει πρώτα τρία ροζ κουνέλια, μετά ένα μπλε, μετά τρία ροζ κ.ο.κ. 
Η δεύτερη όταν ξεκινάει, αρχικά παράγει τέσσερα μπλε αρκουδάκια, μετά μία ροζ, μετά πάλι τέσσερα μπλε και ούτω καθεξής. Μετά από λίγο, από αυτές τις δύο μηχανές παρήχθησαν συνολικά $220$ μπλε παιχνίδια. 
Πόσα ροζ κουνελάκια παρήχθησαν;

Σωστή αφαίρεση

Αλλάξτε ένα ψηφίο σε καθέναν από τους τρεις αριθμούς, έτσι ώστε η παρακάτω αφαίρεση να είναι σωστή:
Βρείτε όλες τις λύσεις.

Solar Math: Variables and Expressions from Around the Cosmos

Click on image.
There are many simple mathematical formulae that astronomers use to describe different aspects of the universe and the physical world. (The above photo of Saturn was taken by NASA's Cassini spacecraft from behind Saturn looking back towards the Sun.) 
Problem 1: 
Find, P, the length of Earth's day 500 million years in the future if $P = 24$ hours $+ 0.004 Y$, where $Y$ is the number of millions of years that have elapsed.