Τρίτη 19 Μαρτίου 2024

Ανισότητα για διαγωνισμούς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Σειρά επαναληπτικών θεμάτων που προτείνει ο Θ. Ποδηματάς και λύνει ο Β. Κακαβάς - ΘΕΜΑ 7ο

Κάντε κλικ στην εικόνα.
Μια νέα πρωτοβουλία με συνδρομή των αγαπητών μελών της lisari team Θωμάς Ποδηματάς και Βασίλης Κακαβάς, για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.
Ο Θωμάς θα προτείνει κάθε Κυριακή μια άσκηση και την επόμενη Κυριακή ο Βασίλης θα δίνει υπόδειξη για την άσκηση αυτή! Μια προσπάθεια για την καλύτερη και άρτια προετοιμασία των μαθητών ενόψει των Πανελλαδικών Εξετάσεων.
Πηγή: lisari

Η μία κοινή

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $a, b πραγματικών αριθμών για τα οποία καθεμία από τις τετραγωνικές εξισώσεις έχει
$ax ^2 + 2bx +1 = 0$
$bx ^2 + 2ax + 1 = 0$
δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, ενώ ακριβώς η μία είναι κοινή και στις δύο εξισώσεις.

Βρείτε το και αποδείξτε το

Ένα άλλο ωραίο θεώρημα (ποιο είναι;). Προσπαθήστε να το αποδείξετε! Πάρτε ένα τρίγωνο (το λευκό) και κατασκευάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε κάθε πλευρά του (τα κίτρινα). 
Συνδέστε τις εξωτερικές κορυφές με την αντίθετη κορυφή του τριγώνου. Τότε αυτά τα τρία τμήματα συναντώνται στο ίδιο σημείο.

Τετράπλευρο με 4 ιδιότητες

Ένα τετράπλευρο $ABCD$ έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
  • οι πλευρές $AB$ και $CD$ είναι παράλληλες,
  • στην κορυφή $B$ είναι μια ορθή γωνία,
  • το τρίγωνο $ADB$ είναι ισοσκελές με βάση $ΑΒ$,
  • οι πλευρές $BC$ και $CD$ έχουν μήκος $10$ cm.
Να βρεθεί το εμβαδόν αυτού του τετραπλεύρου.

Τουλάχιστον ένας

Χαλασμένη ζυγαριά

Στην αποθήκη τους ο Φώτης και η αδελφή του Ελπίδα βρήκαν μία παλιά ζυγαριά. Η μητέρα τους προειδοποίησε ότι αν και η ζυγαριά δεν ζυγίζει σωστά, η διαφορά μεταξύ του πραγματικού και του μετρημένου βάρους είναι πάντα η ίδια. 
Ο Φώτης ζυγίστηκε και η ζυγαριά έδειξε $30$ κιλά, η Ελπίδα ζυγίστηκε και αυτή και η ζυγαριά έδειξε $28$ κιλά, αλλά όταν ανέβηκαν και οι δύο ταυτόχρονα, έδειξε $56$ κιλά. 
Ποιο ήταν το πραγματικό βάρος του Φώτη και της Ελπίδας;

Λυγισμένοι δείκτες

Υπάρχουν μερικά ρολόγια των οποίων οι δείκτες ώρας και λεπτών είναι λυγισμένοι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 
Στην συγκεκριμένη εικόνα το ρολόι δείχνει $6:00$. Σε αυτήν την περίπτωση, μεταξύ 6ης ώρας και 7ης ώρας, ποια ώρα (ώρα, λεπτά και δευτερόλεπτα) επικαλύπτονται μερικώς ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης; 

Υποτείνουσα ορθογωνίου

Να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου $ABC$.

Ρόδα με γόνδολες

Η ρόδα στο λούνα παρκ έχει $64$ γόνδολες. Χρειάζονται $20$ λεπτά για να ολοκληρωθεί ένα σιρκουί και οι επιβάτες επιβιβάζονται και αποβιβάζονται στη χαμηλότερη θέση $Α$. Οι γόνδολες απέχουν ίσα διαστήματα μεταξύ τους και οι επιβάτες πρέπει να αλλάζουν θέση μετά από κάθε γύρο. 
Οι επιβάτες επιβιβάζονται στη γόνδολα ένας ένας αφού αρχίσει να κινείται και δεν υπάρχουν κενές γόνδολες. Επίσης, δεν θα λάβουμε υπόψη τον χρόνο που χρειάζεται για να μπείτε και να κατεβείτε από τη ρόδα. Πόσα λεπτά και δευτερόλεπτα αφότου αρχίσει να κινείται η ρόδα του λούνα παρκ, η 90η επιβίβαση θα φτάσει στην υψηλότερη θέση $Β$;

Αρρητοτριγωνομετρική εξίσωση

Μία περιστροφή

Nα βρεθεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται περιστρέφοντας το χρωματιστό μέρος μία φορά γύρω από την ευθεία $L$.

Μαιανδρικό μονοπάτι

Να βρεθεί το εμβαδόν και η περίμετρος του παρακάτω σχήματος.

$\dfrac{99}{70} \approx \sqrt{2}$

$\dfrac{99}{70}=1,41428571429...$
$ \sqrt{2}= 1,41421356237...$

Κύκλος - σφαίρα

Ερώτηση:
Ένας κύκλος και μια σφαίρα έχουν ίσες ακτίνες $r$ οι οποίες μειώνονται διαρκώς μέχρι να γίνει $r = 0$. Όταν είναι τόσο μικροσκοπικοί, ο κύκλος διακρίνεται με οποιονδήποτε τρόπο από τη σφαίρα;

Physics Notes: Surface Tension Coefficient