Παρασκευή, 26 Μαΐου 2017

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Προτεινόμενα Θέματα Γ [56ο - 68ο]

 Του Θανάση Ξένου 
56. Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
\slim_{x\to1} \dfrac{{\mathrm f}(x)-1}{x^2-1}=4-\dfrac{3}{2} {\mathrm f}'(1) και {\mathrm f}''(x)={\mathrm f}'(x)+e^{x-1}, για κάθε x\in\mathbb{R}.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=x\cdot e^{x-1},\,x\in\mathbb{R}.
β) Να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο \Delta του \mathbb{R}, ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει x\cdot(e^{x-1}-2)+1\geq0.
γ) Να λυθεί στο διάστημα [0,+\infty) η εξίσωση
    \[{\mathrm f}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{\mathrm f}(x)={\mathrm f}\left(\dfrac{2x}{3}\right)+{\mathrm f}(2x).\]
δ) Να βρεθούν οι \alpha,\beta\in\mathbb{R} για τους οποίους ισχύει
    \[\slim_{x\to -\infty} \big({\mathrm f}(x)+\alpha x+\beta\big)=2.\]
--------------
57. Θεωρούμε δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις {\mathrm f},{\mathrm g}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με {\mathrm f}'(x)={\mathrm g}(x),\,{\mathrm g}'(x)=-{\mathrm f}(x),\,{\mathrm f}(0)=0 και {\mathrm g}(0)=1.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\fhm x και {\mathrm g}(x)=\fsun x.
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
    \[{\mathrm h}(x)=\dfrac{{\mathrm f}(x)+{\mathrm g}(x)}{x-1}.\]

Θέματα προαγωγικών και απολυτήριων εξετάσεων στα Μαθηματικά Γυμνασίου

Πέμπτη, 25 Μαΐου 2017

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ερώτηση

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση $f(x)$ είναι αύξουσα σε κάποιο διάστημα $(a, b)$ και ότι έχει παράγωγο σε κάποιον $ξ$ στο $(a, b)$. Επειδή η συνάρτηση είναι αύξουσα, ισχύει 
$\dfrac{f(x)−f(ξ) }{x−ξ} ≥ 0$ 
για κάθε $x\neqξ$ στο $(a, b)$ και, επομένως, η παράγωγος $f΄(ξ)$ είναι είτε αριθμός $≥ 0$ είτε $+∞$.
Σωστό ή Λάθος;

Τετάρτη, 24 Μαΐου 2017

Πανδαισία χρωμάτων

Διευθετήστε στο επίπεδο 11 μη επικαλυπτόμενα ίσα τετράγωνα έτσι ώστε με όποιον τρόπο και αν τα χρωματίσουμε, χρησιμοποιώντας τρία χρώματα, να υπάρχουν δύο ακριβώς τετράγωνα με ίδιο χρώμα που εφάπτονται κατά μήκος μιας πλευράς. 

Τρίγωνα σε ένα παραλληλόγραμμο

Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου. Φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα σημεία αυτά με όλες τις κορυφές του παραλληλογράμμου.
Αποδείξτε ότι άθροισμα των εμβαδών των δύο κόκκινων τριγώνων είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο μπλε.
Περιοδικό Quantum

Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω το ύψος και η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου  
Αν είναι τα έγκεντρα των τριγώνων να δείξετε ότι
Πηγή

Παρασκευή, 19 Μαΐου 2017

Πόσοι;

Πόσοι από τους ακεραίους από το 1 έως το 1000000, συμπεριλαμβανομένων δεν είναι ούτε τέλεια τετράγωνα, ούτε τέλειοι κύβοι, ούτε τέλειες δυνάμεις του 4;

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2017 - Β Φάση

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2017 - Β Φάση

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2017 - Β Φάση

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 148η

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - 200 Επαναληπτικά Θέματα

 Επιμέλεια: Νίκος Ράπτης 
Πηγή: lisari