Τετάρτη, 23 Απριλίου 2014

Ακέραια τρίγωνα

Το τρίγωνο με πλευρές $4,5,6$ ως γνωστόν είναι ορθογώνιο, αλλά δεν είναι πολύ γνωστό ότι η γωνία $A$ είναι διπλάσια της γωνίας $B$.
Πράγματι  
$cosA=\frac{b²+c²-a²}{2bc}=\frac{1}{8}$
$cosB=\frac{a²+c²-b²}{2ac}=\frac{3}{4}$
$cosA=2cos²B-1$
Πρόβλημα Ι
Να βρεθούν όλα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές μικρότερες του $20$, για τα οποία ισχύει $A=2B$. 
Πρόβλημα ΙΙ
Να βρεθεί το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές, για το οποίο ισχύει $A=5B$.  
Πρόβλημα ΙΙΙ
Να βρεθούν όλα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές μικρότερες του $20$ και μία γωνία $60°$. 

Τετάρτη, 16 Απριλίου 2014

Μαργαρίτα + 2 προεκτάσεις του προβλήματος από τον κ. Δόρτσιο

Χωρίς υπολογισμούς, να συγκριθούν τα εμβαδά των κόκκινων και των πράσινων επιφανειών.
Δύο προεκτάσεις του προβλήματος (Toυ Κώστα Δόρτσιου, Γρεβενά)
Η όμορφη αυτή σκέψη μπορεί να υλοποιηθεί και στα δύο ακόλουθα σχήματα:

Τρίτη, 15 Απριλίου 2014

Και όμως δεν είναι ισοσκελές

Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $A = {36^{0\,\,}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B = {12^0}$.
Να δείξετε ότι οι εξωτερικές διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ είναι ίσες.

Δευτέρα, 14 Απριλίου 2014

Ισόπλευρο και κύκλοι

Στο σχήμα το τρίγωνα $ABC\,$ είναι ισόπλευρο. Οι τέσσερις κύκλοι είναι ίσοι με ακτίνα $r = 2$, ο καθένας, είναι δε εγγεγραμμένοι:
Ο μεσαίος στο τρίγωνο $DSP$ και οι τρεις άλλοι στα τρίγωνα $ABD,BCS,CAP$. Βρείτε το μήκος της πλευράς του $ABC$.

Κυριακή, 13 Απριλίου 2014

Γεωμετρικός τόπος

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $z$ για τους οποίους:
$\left| {\dfrac{{{z^2} + 9}}{z}} \right| = 6$.

Είναι ισοσκελές


Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ ( $AB < AC$) η γωνία $A = {60^0}$. Η κάθετη από το $B$ στην εσωτερική διχοτόμο $AD$, τέμνει την $AC$ στο $E$.
Αν $Z$ σημείο της $AB$ με $AZ = EC$, δείξετε ότι $CB = CZ$.

Τριχοτόμηση

Δίδεται τραπέζιο $ABCD\,\,(AB//CD)$. Να φέρετε ευθεία $(\varepsilon )$ παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου και να τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές $AD,BC$ στα $K,N$ αντίστοιχα και τις διαγώνιους $AC,BD$ στα $L,M$ αντίστοιχα εις τρόπον ώστε:
$KL = LM = MN$.

Παρασκευή, 11 Απριλίου 2014

Ανισότητες - 340η

Έστω $a, b, c, x, y, z$ θετικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $x + y + z = 1$ και
$2ab + 2bc + 2ca > a^2 + b^2 + c^2$.
Να αποδειχθεί ότι
Arkady Alt, San Jose, California, USA
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ανισότητες - 339η

Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε
$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$.
Να αποδειχθεί ότι
Marius Stanean, Zalau, Romania
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Γωνίες τριγώνου

Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC(AB = AC)$ είναι $\widehat A = {48^0}$. Έστω σημείο $D$ στην $AB$ με $D\widehat CB = {18^0}$ και σημείο $K$ στην $CD$ με $K\widehat AC = {18^0}$.
Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου $DBK$.

Πάντα ίσα

Σε κύκλο κέντρου $O$ θεωρούμε δύο κάθετες διαμέτρους. 
Δύο τυχαία σημεία $P,Q$ του κύκλου προβάλλονται, πάνω στη οριζόντια διάμετρο στα $K,L$ αντίστοιχα και στα $A,B$ αντίστοιχα πάνω στην κατακόρυφη διάμετρο. Δείξετε ότι $AK = LB$.

Πέμπτη, 10 Απριλίου 2014

Απάντηση στο πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν (του Νίκου Φραγκάκη)

Το πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν
Στο πρώτο σχήμα:
Έχει κατασκευαστεί  τετράπλευρο $PBTC$ με πλευρές $PB = 8,BT = 4,TC = 1,CP = 8$ που όμως δεν είναι εγράψιμμο η διαγώνιος του $PT = 8$  και μετά το παραλληλόγραμμο $ABCD$ με 
$BA// = TP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD// = BC$.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου $PBTC$ είναι χωρισμένο σε τρίγωνα με γνωστές και ακέραιες πλευρές και έχει εμβαδόν 
$(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{4}$ 
και άρα το παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν
$(ABCD) = 2(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{2}$.
Εδώ την πάτησα.

Ημερομηνίες Προκριματικού Διαγωνισμού 2014

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ
Η Επιτροπή Διαγωνισμών αποφάσισε ο Προκριματικός Διαγωνισμός για την επιλογή των ομάδων που θα μας 
εκπροσωπήσουν στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα και στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων θα γίνει ως εξής:
Α. Ο Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 
Ο Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων θα πραγματοποιηθεί το Σάββατο 12 Απριλίου 2014,ώρα 9.00, στο Νέο Χημείο (Ναυαρίνου 13Α, Αθήνα) .
Η συνέντευξη γνωριμίας των μαθητών με την Επιτροπή Διαγωνισμών θα γίνει στις 13.00 την ίδια μέρα στα Γραφεία της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Πανεπιστημίου 34, Αθήνα).