Σάββατο, 30 Ιουλίου 2016

Τετραχρωμία

Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο σε κύκλους. 
Ο μεγαλύτερος από τους κύκλους εφάπτεται εσωτερικά των βάσεων τραπεζίου μήκους $2$ cm και $5$ cm..Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου.

51th International Mathematical Olympiad 2010 - Shortlisted Problems with Solutions

2 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:
$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου
$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του
$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του
$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του
$G$ το κέντρο βάρους του
$Η$ το ορθόκεντρο του
$Ι$ το έγκεντρο του.
3) Δεδομένων των σημείων $Μ_α, Η, Δ_β$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.
4) Δεδομένων των σημείων $Μ_α, Η, Ι$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

Πλήρης συσκότιση

Χρωματίζουμε μαύρα μερικά μοναδιαία τετράγωνα ο' ένα πλέγμα άπειρων διαστάσεων. Αποδείξτε ότι είναι δυνατό νη αποκόψουμε ένα πλήθος (μη μοναδιαίων) τετραγώνων τέτοιων ώστε
(1) να καλύπτουν όλα τα μoναδιαία μαύρα τετράγωνα και
(2) στο καθένα τους, τα μαύρα τετράγωνα να καλύπτουν όχι λιγότερο από το $\dfrac{1}{5}$ και όχι περισσότερο από $\dfrac{4}{5}$ της συνολικής επιφάνειας.
(G. Rozenblume)

Συνδυάζοντας άσους και δυάρια

Να αποδειχτεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $n$ υπάρχει ένας αριθμός αποτελούμενος μόνο από τα ψηφία $1$ και $2$ ο οποίος διαιρείται από το $2$.
(V. Ivlev)

Εξάγωνο Brianchon

Δίνεται εξάγωνο $ABCDEF$ με όλες τις πλευρές του ίσες και για τις γωνίες του ισχύει 
$A+C+E=B+D+F$.
Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες $AD,BE,CF$ συντρέχουν.

Τριγωνομετρικό πλεκτό

Ποιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις αναγνωρίζετε;

Παρασκευή, 29 Ιουλίου 2016

50th International Mathematical Olympiad 2009 - Shortlisted Problems with Solutions

Παρατηρώντας ένα σαλιγκάρι

Μια ομάδα σπουδαστών ζωολογίας παρατηρούσε ένα σαλιγκάρι να κινείται για ένα χρονικό διάστημα $t > 1$ min. O καθένας τους παρατηρούσε το σαλιγκάρι επί $1$ min ακριβώς, και όλοι είδαν ότι σε αυτό το διάστημα διέσχισε $1$ m ακριβώς. Η παρατήρηση δεν διακόπηκε καμία στιγμή.
Ποιο είναι το μεγαλύτερο και ποιο το μικρότερο διάστημα που μπορεί να διέσχισε το σαλιγκάρι μέσα σε αυτά τα $t$ min; 
Μπορείτε να ξεκινήστε με μικρές τιμές του $t$ - ας πούμε $t = 2,5$ min.
Περιοδικό Quantum (Ν. Κonstantinov)

1 - (Ανα)κατασκευή τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ συμβολίζουμε με:
$Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου
$Μ_α$, $Μ_β$, $Μ_γ$ τα ίχνη των διαμέσων του
$Η_α$, $Η_β$, $Η_γ$ τα ίχνη των υψών του
$Δ_α$, $Δ_β$, $Δ_γ$ τα ίχνη των διχοτόμων του
$G$ το κέντρο βάρους του
$Η$ το ορθόκεντρο του
$Ι$ το έγκεντρο του.
1) Δεδομένων των σημείων $Ο, Η_α, Δ_β$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.
2) Δεδομένων των σημείων $Ο, Η_α, Ι$ να (ανα)κατασκευαστεί το τρίγωνο $ΑΒΓ$.

$f(x) =?$

Αν
$f''(x)+f'(x)+f^2(x) = x^2$
τότε 
$f(x) =?$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Πέμπτη, 28 Ιουλίου 2016

Καμπυλόγραμμα εμβαδά

Να βρεθούν τα εμβαδά των επιφανειών $A,B,C$.

49th International Mathematical Olympiad 2008 - Shortlisted Problems with Solutions

Ενδιαφέρον ολοκλήρωμα

Να βρεθεί το ολοκλήρωμα:

$\int \dfrac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}$.

Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών

Εναλλαγές και τετράγωνα

Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών $χ$ και $y$ για τους οποίους οι
$χ^2 + 3y$ και $y^2 + 3χ$ 
είναι τέλεια τετράγωνα. 
(Ι. Sharygίn)

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Πέντε θέματα για προχωρημένους

Πηγή: Ευκλείδης Α΄ τ. 99

Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου - Πέντε θέματα για προχωρημένους

Πηγή: Ευκλείδης Α΄ τ. 99

Εμβαδόν τετραγώνου

Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου.

Ομοκυκλικά σημεία

Δίνονται στο επίπεδο δύο τεμνόμενοι κύκλοι. Το $Α$ είναι ένα από τα σημεία τομής των κύκλων.
Φέρουμε σε κάθε κύκλο μια διάμετρο παράλληλη προς την ευθεία που εφάπτεται στον άλλο κύκλο στο σημείο $Α$. Οι διάμετροι αυτές δεν τέμνονται. 
Αποδείξτε ότι τα τέσσερα άκρα αυτών των διαμέτρων ανήκουν στον ίδιο κύκλο. 
(S. Βelov)
Λύση
Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο Κώστας Δόρτσιος: