Τετάρτη, 20 Αυγούστου 2014

Αμβλυγώνια ακεραιότητα (μια απάντηση)

για την Αμβλυγώνια ακεραιότηταl



Γράφω τον κύκλο $(A,b)$ που τέμνει την προέκταση της $CB$ στο $D$.
Επειδή  $\widehat D = \widehat C$ ,  ως προσκείμενες στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου $ADC$ και $A\widehat BC = \widehat \theta  + \widehat \phi $ , ως εξωτερική στο τρίγωνο $ABD$ θα έχω ταυτόχρονα: $\hat B = 2\hat C = 2\hat D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\hat B = \hat D + \widehat \phi $ οπότε $\boxed{\widehat \theta  = \widehat \phi  \Leftrightarrow BD = BC = c}$ .
Η δύναμη του $B$ ως προς τον κύκλο $(A,b)$ δίδει $BD \cdot BC = A{C^2} - A{B^2} \Rightarrow \boxed{ac = {b^2} - {c^2}}\,\,(1)$. Επειδή όμως $A > {90^0} \Leftrightarrow {a^2} > {b^2} + {c^2}$ και λόγω της $(1)$ γίνεται ${a^2} > (ac + {c^2}) + {c^2} \Leftrightarrow \boxed{f(a) = {a^2} - ca - 2{c^2} > 0}$. Το τριώνυμο $f(a)$ έχει ρίζες ${a_1} =  - c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{a_2} = 2c$  και είναι θετικό αν και μόνο αν ο αριθμός $a > 2c\,\,\,\varepsilon \iota \tau \varepsilon \,\,\,a <  - c$ . Προφανώς λοιπόν $\boxed{a > 2c}\,\,(2)$ . Λόγω της $(1)$ $a = \dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{c}$ άρα λόγω της $(2)$ έχω $\dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{c} > 2c \Rightarrow {b^2} > 3{c^2} \Rightarrow \boxed{b > c\sqrt 3 }\,\,(3)$.
Αν ξεκινήσουμε από την πιο μικρή τιμή του  ακεραίου $c$, δηλαδή το $c = 1,2,3,...$ με βάση το περιορισμό $(3)$ και αφού $\boxed{a = \dfrac{{{b^2}}}{c} - c}$ είναι ακέραιος  βρίσκουμε ότι την πρώτη φορά που έχω δεκτό αποτέλεσμα είναι για $\boxed{c = 16}$ και επειδή $b > 16\sqrt 3  \simeq 27,712$  με $\boxed{b = 28}$ βρίσκω $a = \dfrac{{{{28}^2}}}{{{{16}^2}}} - 16 = \dfrac{{{4^2} \cdot {7^2}}}{{16}} - 16 = 33$ δηλαδή $\boxed{a = 33}$. Βεβαίως πέραν των γενικών λύσεων $(a,b,c) = (33k,28k,16k)\,\,\,k \in {\mathbb{N}^*}$ , έχουμε και άλλες άπειρες λύσεις π.χ.  $a = 162,b = 90,c = 50$.

Φραγκάκης Νίκος ( Doloros)   2ο Λύκειο Ιεράπετρας.

Υ. Γ.

Θα ήθελα την συγκατάβαση του κ. Ριζόπουλου για να ανεβάσω την άσκηση , αναφέροντας προφανώς την πηγή,  στο mathematica όποτε πιστεύω από τα «σαΐνια» του, θα έχουμε πιο κομψές λύσεις (τουλάχιστον ότι αφορά το αλγεβρικό μέρος) .

Τρίτη, 19 Αυγούστου 2014

Αμβλυγώνια ακεραιότητα

Ποια είναι η ελάχιστη περίμετρος ενός αμβλυγωνίου τριγώνου ,που έχει τη μια οξεία γωνία του διπλάσια της άλλης, και τα μήκη όλων των πλευρών είναι ακέραιοι αριθμοί;

Τετάρτη, 13 Αυγούστου 2014

Το ψαλίδι του Όϋλερ

Έχουμε ένα κυρτό πολύεδρο $Π$. Με ένα ψαλίδι (ένα τέμνον επίπεδο δηλαδή) κόβουμε μια "μυτούλα", ένα μικρό πρίσμα από κάθε κορυφή του Π και έτσι έχουμε ένα νέο πολύεδρο, έστω $Ν$. 
Έστω πως το $Ν$ έχει $Κ$ κορυφές, $Α$ ακμές και $Ε$ έδρες και μία από τις τιμές Κ ,Α ή Ε ισούται με $1001$. Πόσες ακμές είχε το αρχικό πολύεδρο $Π$ ;

Δευτέρα, 11 Αυγούστου 2014

Ερημικά παζλάκια

$1.$ Δύο άνθρωποι βρίσκονται στην έρημο. Έχει ο καθένας στην πλάτη του από ένα σακίδιο. Ο ένας είναι νεκρός. Το σακίδιο του ζωντανού είναι ανοικτό. Το σακίδιο του νεκρού είναι κλειστό. Τι έχει μέσα το σακίδιο;
$2.$ Ένα άνθρωπος βρίσκεται σε ένα μικρό ερημικό και δασώδες νησί, μακρόστενου σχήματος κατά τη διεύθυνση Ανατολή-Δύση. Το κατάλυμά του είναι περίπου στο κέντρο του νησιού.

Διαγώνισμα Μιγαδικών 2014- 2015

 Του Βασίλη Μαυροφρύδη 
Πηγή

Κυριακή, 10 Αυγούστου 2014

Διχοτόμος-διάμεσος-καθετότητα

Από σημείο $D$ της διχοτόμου της γωνίας  $A$ τριγώνου $ABC$ , φέρνουμε τις κάθετες $DE,DZ$ στις ευθείες $AB,AC$  αντίστοιχα. 
Έστω $H$ το σημείο τομής της διαμέσου $AM$ με την $EZ$ . Δείξετε ότι  $HD \bot BC$.

Παρασκευή, 8 Αυγούστου 2014

Παράλληλη χορδή σ' ακτίνα

Οι διχοτόμοι των γωνιών $A\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B$ τριγώνου $ABC$ τέμνουν τον περιγεγραμμένο  του κύκλο στα $D,E$ αντίστοιχα. Έστω $K$ το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ που αντιστοιχεί στην πλευρά $BC$. Δείξετε ότι: $DE//KC$.

Αυτοκίνηση

O Λευτέρης ξεκινάει από την πόλη του (χιλιομετρική θέση: $0$) για ένα ταξίδι με το αυτοκίνητό του. Κινείται με σταθερή ταχύτητα. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα προσπερνάει έναν οδοδείκτη-χιλιομετρητή που δείχνει έναν διψήφιο αριθμό. 
Μία ώρα αργότερα προσπερνάει ένα άλλο χιλιομετρητή που έχει τα ίδια δύο ψηφία με τον πρώτο,αλλά σε αντίστροφη θέση. Μετά από ακόμη μία ώρα περνάει έναν τρίτο χιλιομετρητή του οποίου ο αριθμός περιέχει τα ίδια δύο ψηφία (σε κάποια σειρά) χωρισμένα από ένα μηδενικό στη μέση. Με ποια ταχύτητα κινείται το αυτοκίνητο του Λευτέρη;

Μία στις Έξι

Μόνο μία από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής. Ποια και γιατί;
$Α.$ Όλες οι επόμενες
$Β.$  Καμία από τις επόμενες
$Γ.$  Μία από τις αποπάνω
$Δ.$ Όλες οι αποπάνω
$Ε.$  Καμία από τις αποπάνω
$Ζ.$  Καμία από τις αποπάνω

Πέμπτη, 7 Αυγούστου 2014

Τετάρτη, 6 Αυγούστου 2014

$5$ νομίσματα για $4$ κάλτσες

$1.$ Μαγικό κόλπο: Δίνεται $5$ νομίσματα σε κάποια φίλη σας. Της λέτε να τα βάλει όπως θέλει πάνω σε ένα τραπέζι . Μπορεί ,ας πούμε, τα τρία να δείχνουν κεφάλι και τα δύο γράμματα, ή όποιον άλλο συνδυασμό εκείνη επιλέξει. Κατόπιν κοιτάζετε αλλού και η φίλη σας θα τουμπάρει δύο κέρματα, και με το δάκτυλό της θα κρύψει ένα (όποιο θέλει από τα πέντε!). Κατόπιν γυρίζετε και βλέπετε τα $4$ κέρματα. Μπορείτε να βρείτε αν το κρυμμένο νόμισμα δείχνει κεφάλι ή γράμματα;

Τρίτη, 5 Αυγούστου 2014

Σάββατο, 2 Αυγούστου 2014

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 61η

Εξισωτής

Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές $AB=8$ και $AC=6$. Το τμήμα $ST$, με άκρα επί των $CA,CB$, χωρίζει το τρίγωνο σε δύο περιοχές, οι οποίες έχουν ίσα εμβαδά και ίσες περιμέτρους. 
Δείξτε ότι $ST=4\sqrt{3}$. (Υπενθύμιση: Η ευθεία λέγεται εξισωτής για το τρίγωνο $ABC$).