Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014

Ο Ένοχος

Διαρρήκτες διέρρηξαν το κοσμηματοπωλείο "Το Mπακίρι", αφαιρώντας μεγάλης αξίας κοσμήματα, ρολόγια, και χρυσαφικά. Κατόπιν ερευνών ο Επιθεωρητή Clouseau συνέταξε το εξής πόρισμα σχετικά με τη κλοπή:
-Ως κύριοι ύποπτοι θεωρήθηκαν οι σεσημασμένοι διαρρήκτες ο «Α», ο «Β», και ο «Γ». 
-Οι διαρρήκτες «Α» και «Γ» είναι δίδυμοι και ήταν γνωστό στις αρχές ότι κανένα από τα δίδυμα αδέρφια δεν θα διέπραττε οποιοδήποτε αδίκημα χωρίς συνεργό (όχι απαραίτητα τον αδελφό του).
-Ο διαρρήκτης «Β» ήταν περισσότερο αυτόνομος και πάντα δούλευε μόνος του (χωρίς συνεργό).

Τετάρτη, 29 Οκτωβρίου 2014

Γραφογρίφος

Αυτή είναι η κάτοψη του πύργου του διάσημου μαθηματικού Von Dumkopf .
Οι κύκλοι δείχνουν τα δωμάτια του πύργου που συνδέονται με διαδρόμους όπως φαίνεται στο σκίτσο. Βρείτε μια διαδρομή που να ξεκινάει από κάποιο δωμάτιο και αφού περάσει άπαξ από καθένα από όλα τα υπόλοιπα δωμάτια, να καταλήγει ξανά στο αρχικό δωμάτιο απ' όπου ξεκίνησε,ή αποδείξτε πως τέτοια διαδρομή δεν υπάρχει.

Εμβαδόν = Περίμετρος;

Το ορθογώνιο τρίγωνο Α Β Γ με ακέραια μήκη πλευρών 5, 12, και 13, μονάδων μήκους παρουσιάζει την ιδιομορφία ότι το εμβαδόν του ισούται με την περίμετρο του. 
Πόσα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών με την ίδια ιδιότητα υπάρχουν;
Mathematics Magazine 40(1967), πρόβλημα 644, H. L.Umansky
Λύση:

Τρίτη, 28 Οκτωβρίου 2014

Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου στους Μιγαδικούς αριθμούς

 Του Χρήστου Μαρούγκα  3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 

Οι Απεργοί

Όταν ρωτήθηκε ο πρόεδρος των συνδικαλιστών του κλάδου των σιδηροδρομικών για την συμμέτοχη των σιδηροδρομικών στην απεργία της Τετάρτης (6-11-2013). Ο πρόεδρος απάντησε ως εξής:
- «Το πλήθος των απεργών είναι ένας τετραψήφιος αριθμός και είναι τέλειο τετράγωνο. Εάν αυξήσουμε όλα τα ψηφία του κατά μια μονάδα, τότε ο νέος αριθμός που προκύπτει είναι επίσης ένα τέλειο τετράγωνο!» 
Πόσοι ήταν οι απεργοί που έλαβαν μέρος στην απεργία των σιδηροδρομικών; 
(Crux Mathematicorum)

$a·a’=b·b’+c·c’$

Να αποδειχθεί ότι:
$a·a’=b·b’+c·c’$.

Η μητέρα του Ιχίρο

Η μητέρα του Ιχίρο είναι στο νοσοκομείο. Αποφάσισε να προσεύχεται κάθε πρωί στον τοπικό ναό με το μικρό του αδελφό ώστε η μητέρα του να γίνει καλά. Ο Ιχίρο έχει στο πορτοφόλι του 18 κέρματα των δέκα γιέν και ο αδελφός του έχει 22 κέρματα των πέντε γιεν. 
Αποφάσισαν να δίνουν ένα κέρμα από αυτά που έχουν στο πορτοφόλι τους κάθε πρωί στον έρανο και να συνεχίσουν να προσεύχονται μέχρι κάποιο από τα πορτοφόλια να αδειάσει. Μια μέρα, μετά την προσευχή, κοίταξαν στα πορτοφόλια τους και βρήκαν ότι το ποσό των χρημάτων του μικρότερου αδελφού ήταν μεγαλύτερο από του Ιχίρο. 
Πόσες μέρες από όταν άρχισαν να προσεύχονται αυτό συνέβη;

Κυριακή, 26 Οκτωβρίου 2014

Τα Γλυκά

Η κ. Παύλου, διευθύντρια ενός δημοτικού σχολείου, θα έβγαινε στη σύνταξη. Τη τελευταία ημέρα της εργασίας της αγόρασε 10 κουτιά με γλυκά, τα οποία περιείχαν 50 ή 60 γλυκά το καθ’ ένα, για να κεράσει τους μαθητές του σχολείου. Με αυτή τη πληροφορία μπορείτε να βρείτε πόσοι ήταν οι μαθητές και πόσα γλυκά έφαγε ο κάθε μαθητής; 
Πηγή:
«500 Γρίφοι και Σπαζοκεφαλιές», Εκδ. Σαββάλας (Ε17/Νο.9)

Σάββατο, 25 Οκτωβρίου 2014

Η Κλοπή

Ο αστυνόμος Σαΐνης  κλήθηκε από την υπηρεσία του να εξιχνιάσει το εξής αδίκημα. Από το μαγαζί ηλεκτρικών ειδών "Η Αφθονία" εκλάπη ένα μεγάλο χρηματικό ποσό.Από μαρτυρίες έγινε γνωστό ότι ο κλέφτης ή οι κλέφτες  διέφυγαν  από το μαγαζί οδηγώντας ένα αυτοκίνητο. Τρεις σεσημασμένοι κλεφτές οι,  Α, Β, και Γ, συνελήφθησαν ως ύποπτοι για την κλοπή.
Από την ανάκριση ο αστυνόμος Σαΐνης διαπίστωσε τα εξής:
(1)Μεταξύ των Α, Β, και Γ βρίσκεται ο ένοχος ή οι ένοχοι.
(2)Ο Γ ποτέ δεν κλέβει χωρίς να έχει σύνεργο τον Α  και καμιά φορά και άλλους επιπλέον συνεργούς.
(3) Ο Β δεν ξέρει να  οδηγήσει αυτοκίνητο. 
Είναι ο «Α» αθώος ή ένοχος για στην κλοπή;

Τεμνόμενοι υπό συνθήκη

Ένας ωραίος γεωμετρικός γρίφος:
Σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε $6$ κύκλους (όχι απαραιτήτως ίδιου μεγέθους). Έστω πως υπάρχει κάποιο σημείο $P$ το οποίο βρίσκεται αυστηρά στο εσωτερικό όλων των κύκλων.
Δείξτε πως το κέντρο ενός τουλάχιστον κύκλου από τους έξι βρίσκεται αυστηρά στο εσωτερικό κάποιου άλλου κύκλου.

Tετραγωνικοί άσσοι

Έστω $A$ ένας οποιοσδήποτε πίνακας $\nu  \times  \nu $ για τον οποίον ισχύει πως κάθε του στοιχείο είναι είτε $+1$ , είτε $-1$.
Δείξτε ότι η ορίζουσα του $A$ διαιρείται με το $2^{ \nu -1}$.

Παρασκευή, 24 Οκτωβρίου 2014

Το Άθροισμα

Ο Γιαννάκης έσκισε 25 σελίδες από το βιβλίο με τίτλο «Κανόνες καλής συμπεριφοράς», οι σελίδες δεν ήταν κατ’ ανάγκη διαδοχικές.
Να διερευνηθούν οι εξής συνθήκες:
α) Είναι δυνατό το άθροισμα της αρίθμησης των σχισμένων σελίδων να ισούται με 1.271; 
β)Είναι δυνατόν το άθροισμα να ισούται με 2.446; 
γ)Αν ο Γιαννάκης είχε σχίσει 24 σελίδες από το βιβλίο, όχι απαραίτητα διαδοχικές, είναι δυνατό το άθροισμα των αριθμών των σελίδων να ισούται με 2.446;

Ο Εγκληματίας

Ο αστυνόμος Σαΐνης ανακρίνει τέσσερις ύποπτους, τον Α, τον Β, τον Γ, και τον Δ, για την διάπραξη ενός εγκλήματος. Οι τέσσερις ύποπτοι δήλωσαν τα εξής: 
Α: "Ο «Γ» διέπραξε το έγκλημα!" 
Β: "Δεν το διέπραξα εγώ το έγκλημα." 
Γ: "Ο «Δ» διέπραξε το έγκλημα." 
Δ: "Ο «Γ» λέει ψέματα, όταν ισχυρίζεται ότι το διέπραξα εγώ το έγκλημα."
Να διερευνηθούν τα εξής:

Οι Οπαδοί

Σε μια εκδήλωση που πραγματοποιήθηκε για την καταπολέμηση της βίας στα γήπεδα παραβρέθηκαν μόνο οπαδοί (!) των δυο αιωνίων ποδοσφαιρικών αντίπαλων του Αλγεβρικού Αστέρα, και του Γεωμετριακού. Ομολογουμένως η προσέλευση δεν ήταν μεγάλη. Παρατηρήθηκε όμως ότι κάθε οπαδός αντάλλαξε χειραψία με ακριβώς 8 οπαδούς του Αλγεβρικού Αστέρα και ακριβώς 6 οπαδούς του Γεωμετριακού.