Σάββατο, 28 Μαΐου 2016

Στον δρόμο για το σχολείο

Έναν γκρεμό 800 μέτρων πρέπει να διαβούν τα παιδιά της Zhaoiue της επαρχίας Sichuan στην Κίνα, για να πάνε στο σχολείο τους. 
Και το κάνουν καθημερινά, με τις σάκες στους ώμους για να είναι τα χέρια ελεύθερα για το σκαρφάλωμα. Ελπίζουν δε σε καλύτερες μέρες, καθώς η σκάλα από μπαμπού που τους βοηθά στην αναρρίχηση καθημερινά, θα αντικατασταθεί με μια από ατσάλι.

Η μεγαλύτερη μαθηματική απόδειξη στον κόσμο

… καταλαμβάνει χώρο 200 terabytes!
Είναι δυνατόν να χρωματίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς είτε με κόκκινο είτε με μπλε χρώμα, έτσι ώστε να μην υπάρχει πυθαγόρεια τριάδα ακεραίων με το ίδιο χρώμα; Η επίλυση αυτής της εικασίας καταλαμβάνει χώρο 200 terabytes.
(πυθαγόρεια τριάδα = αριθμοί α, β, γ που ικανοποιούν τη σχέση $α^2 + β^2 = γ^2$)
Οι αριθμοί 1 έως 7824 μπορούν να χρωματιστούν είτε με μπλε χρώμα είτε με κόκκινο, έτσι ώστε να μην υπάρχει καμία πυθαγόρεια τριάδα με το ίδιο χρώμα. Το πλέγμα των 7824 τετραγώνων της εικόνας δείχνει μια τέτοια λύση (τα λευκά τετράγωνα μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε χρώμα από τα δύο).

Παρασκευή, 27 Μαΐου 2016

Άλυτα μαθηματικά προβλήματα

Αδιαμφισβήτητα ο μεγαλύτερος «εχθρός» των μαθηματικών είναι τα άλυτα προβλήματα. Οι αναπόδεικτες εικασίες και υποθέσεις που βασανίζουν τα μυαλά των επιστημόνων. Μπορεί κανείς να βρει αρκετά τέτοια προβλήματα, όμως σίγουρα δεν θα έχουν όλα την ίδια δυσκολία, αλλά ούτε και την ίδια επιστημονική βαρύτητα.
Ανάμεσα σε όλα όσα ακόμα μένουν στην σκιά του ανεξερεύνητου κόσμου των μαθηματικών, υπάρχουν 6 προβλήματα που μέσα τους βρίσκεται το… νέκταρ της απόλυτης επιτυχίας. Για τους μαθηματικούς που θα καταφέρουν να λύσουν κάποιον από τους 6 άλυτους γρίφους, πέραν από την προσωπική ικανοποίηση και την επιστημονική καταξίωση, τους περιμένει και ένα εκατομμύριο δολάρια.

Λημνίσκος Bernoulli

Πέμπτη, 26 Μαΐου 2016

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις - 8 Ωραία θέματα για εξετάσεις

Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄» τ. 74

Θεσσαλικός κάμπος

O Θεσσαλικός κάμπος έχει έκταση $5. 100$ τετραγωνικά χιλιόμετρα και ο πληθυσμός της γης είναι 7 δισεκατομμύρια. Για να σταθεί όρθιος ένας άνθρωπος απαιτείται χώρος ενός τετραγώνου πλευράς $50$ εκατοστών.
Ερώτηση:
Χωράει όρθιος ο ανθρώπινος πληθυσμός στο Θεσσαλικό κάμπο;
Ξαπλωτός χωράει;   :)
Περιοδικό Ευκλείδης τ. 74

Παρασκευή, 20 Μαΐου 2016

Εκπαιδευτήρια «Παναγία Προυσιώτισσα»: Θέματα εξετάσεων Μαΐου - Ιουνίου 2016 στα Μαθηματικά

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Πανελλαδικές εξετάσεις 2016 - Τα θέματα και οι απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2016
ΗΜΕΡΟMHNIA
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ
ΔΕΥΤΕΡΑ 
16/5/2016
    ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ       (νέο σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (παλαιό σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΕΤΑΡΤΗ 
18/5/2016
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
(νέο σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΑΡΧΑΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
(νέο σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
(παλαιό σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ
(παλαιό σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 
20/5/2016
          ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ      (νέο σύστημα)ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΙΣΤΟΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ  (νέο σύστημα)ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (παλαιό σύστημα)ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

$χ=40^0$

Να αποδειχθεί ότι $χ=40^0$.

$χ=48^0$

Αν 
και

να αποδειχθεί ότι $χ=48^0$.

Τετράγωνα μόνα

Στην παρακάτω εικόνα τρία από τα τετράγωνα δεν συνδέονται με τα υπόλοιπα.
Ποια είναι;

Πέμπτη, 19 Μαΐου 2016

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Επαναληπτικές ασκήσεις

1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)$ με $\angle{A}=108^0$ και η διχοτόμος του $ΓΔ$. Από το σημείο $Δ$ φέρνουμε την κάθετη στην διχοτόμο $ΓΔ$ που τέμνει την $ΒΓ$ στο σημείο $Ε $ και την προέκταση της $ΓΑ$ στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι:
α. Το τρίγωνο $ΖΕΓ$ είναι ισοσκελές
β. Το τρίγωνο $ΒΕΔ$ είναι ισοσκελές.
γ. $ΒΕ = ΔΑ$.

2. Δίνεται τραπέζιο $ΑΒΓΔ$ με $ΑΒ // ΓΔ$. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Α$ και $Δ $ τέμνονται στο σημείο $Η$ και οι εξωτερικές στο σημείο $Ε$. Επιπλέον οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Β$ και $Γ$ τέμνονται στο $Ζ$.

Andy Liu - Hungarian Problem Book III 1929 - 1943

Ιδιαίτερος μήνας

Υπάρχει μήνας του έτους που να έχει 5 Σάββατα, 5 Κυριακές και 5 Δευτέρες;
Αν ναι, ποιος από τους από τους μήνες της τελευταίας πενταετίας είχε αυτήν την ιδιαιτερότητα;

Τέλειοι αριθμοί

Οι αριθμοί, χαρακτηρίζονται ανάλογα με τις ιδιότητες τους πρώτοι, σύνθετοι, ρητοί, άρρητοι, τρίγωνοι, τετράγωνοι, φίλοι, τέλειοι κ.ά.
Στα στοιχεία του Ευκλείδη τέλειος είναι ο αριθμός που είναι ίσος προς τα μέρη του δηλαδή ο φυσικός αριθμός που είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του (χωρίς τον εαυτό του στους διαιρέτες). 
Παράδειγμα οι $1 ,2,3$ είναι διαιρέτες του $6$ με $1 + 2+ 3=6$ άρα ο $6$ είναι τέλειος. Το ίδιο και ο $28=1+2+4+7+14$ (Σε $6$ μέρες δημιουργήθηκε ο κόσμος, σε $28$ η σελήνη κάνει κύκλο γύρω από τη Γη). Μην ψάξετε δεν θα βρείτε εύκολα άλλους, οι επόμενοι είναι $496$ και $8128$.

Ανισότητες - 346η

Έστω $a, b, c$ θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 
$a^2+b^2+c^2 = 1$. 
Να αποδειχθεί ότι
\[\frac{1}{(1-ab)^2} + \frac{1}{(1-bc)^2} + \frac{1}{(1-ca)^2} \leqslant \frac{27}{4}.\]
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Απόσταση Γης - Σελήνης

Αν ένα φύλλο χαρτί έχει πάχος ένα χιλιοστό και κάθε φορά το διπλώνουμε στη μέση, τι πάχος θα έχει όταν διπλωθεί 7 φορές; Πόσες φορές (αν μπορούσαμε) θα έπρεπε να το διπλώσουμε ώστε το πάχος του να υπερκάλυπτε την απόσταση Γης - Σελήνης;
(Η μέση απόσταση Γης -Σελήνης είναι 384.403 χιλιόμετρα)
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com