Παρασκευή, 24 Οκτωβρίου 2014

Το Άθροισμα

Ο Γιαννάκης έσκισε 25 σελίδες από το βιβλίο με τίτλο «Κανόνες καλής συμπεριφοράς», οι σελίδες δεν ήταν κατ’ ανάγκη διαδοχικές.
Να διερευνηθούν οι εξής συνθήκες:
α) Είναι δυνατό το άθροισμα της αρίθμησης των σχισμένων σελίδων να ισούται με 1.271; 
β)Είναι δυνατόν το άθροισμα να ισούται με 2.446; 
γ)Αν ο Γιαννάκης είχε σχίσει 24 σελίδες από το βιβλίο, όχι απαραίτητα διαδοχικές, είναι δυνατό το άθροισμα των αριθμών των σελίδων να ισούται με 2.446;

Ο Εγκληματίας

Ο αστυνόμος Σαΐνης ανακρίνει τέσσερις ύποπτους, τον Α, τον Β, τον Γ, και τον Δ, για την διάπραξη ενός εγκλήματος. Οι τέσσερις ύποπτοι δήλωσαν τα εξής: 
Α: "Ο «Γ» διέπραξε το έγκλημα!" 
Β: "Δεν το διέπραξα εγώ το έγκλημα." 
Γ: "Ο «Δ» διέπραξε το έγκλημα." 
Δ: "Ο «Γ» λέει ψέματα, όταν ισχυρίζεται ότι το διέπραξα εγώ το έγκλημα."
Να διερευνηθούν τα εξής:

Οι Οπαδοί

Σε μια εκδήλωση που πραγματοποιήθηκε για την καταπολέμηση της βίας στα γήπεδα παραβρέθηκαν μόνο οπαδοί (!) των δυο αιωνίων ποδοσφαιρικών αντίπαλων του Αλγεβρικού Αστέρα, και του Γεωμετριακού. Ομολογουμένως η προσέλευση δεν ήταν μεγάλη. Παρατηρήθηκε όμως ότι κάθε οπαδός αντάλλαξε χειραψία με ακριβώς 8 οπαδούς του Αλγεβρικού Αστέρα και ακριβώς 6 οπαδούς του Γεωμετριακού.

Τετάρτη, 22 Οκτωβρίου 2014

Η Κληρονομιά

Τα παιδιά ενός πλούσιου εμπόρου, ο οποίος άφησε το μάταιο αυτό κόσμο, κληρονόμησαν την περιουσία του που τους άφησε με τη ρητή εντολή να την διανείμουν σύμφωνα με την επιθυμία του, η οποία όριζε τα εξής:
Α)Το πρώτο παιδί θα πάρει 100 νομίσματα  και το 1/10 από τα υπόλοιπα νομίσματα  που μένουν.
Β)Το δεύτερο παιδί θα πάρει 200 νομίσματα  και το 1/10 από τα υπόλοιπα νομίσματα  που μένουν.
Γ)Το τρίτο παιδί θα πάρει 300 νομίσματα  και το 1/10 από τα υπόλοιπα νομίσματα  που μένουν.

Δευτέρα, 20 Οκτωβρίου 2014

Πρώτοι σε γλύκα

Ένα σακούλι περιέχει 101 καραμέλες. Η Κυριακή και η Κατερίνα παίζουν ένα παιχνίδι. Παίρνουν εναλλάξ από μία έως δέκα καραμέλες από τη σακούλα (η Κυριακή ξεκινάει πρώτη). Μόλις αδειάσει η σακούλα μετρούν πόσες καραμέλες έχει πάρει συνολικά καθεμία.Αν το αποτέλεσμα είναι δύο πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί, νικήτρια είναι η Κυριακή διαφορετικά κερδίζει η Κατερίνα. Ποια θα κερδίσει αυτό το παιχνίδι και τι στρατηγική πρέπει να ακολουθήσει;
Περιοδικό Quantum

Κυριακή, 19 Οκτωβρίου 2014

Από πού ως πού ίσα?

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το , τυχαίο σημείο της υποτείνουσας
Επιλέγω σημεία $T,R$ της , ώστε $CT\perp{AS}$ και . Δείξτε ότι : .

Διανυσματικό άθροισμα

Έστω ένα απλό πολύγωνο $P_{ \nu } $ με $\nu$ πλευρές,αριθμημένες από $1$ έως $\nu$, στο επίπεδο.
Έστω  $\vec{ v_{k} }$ διάνυσμα κάθετο στην πλευρά $k$ με φορά προς τα έξω του εσωτερικού του πολυγώνου πάνω στην πλευρά $k$, και μέτρο ίσο με το μήκος της πλευράς $k$. Να υπολογισθεί το
$  \sum_{k=1}^{ \nu  }{ \vec{ v_{k} }}$.

Άλγεβρα Α' Λυκείου - Κριτήριο Αξιολόγησης στις Πιθανότητες

 Της Ρεβέκας Θεοδωροπούλου

Γεννητούρια

$1.$ Ένα νιόπαντρο ζευγάρι σκοπεύει ν' αποκτήσει $4$ παιδιά. Τι είναι πιθανότερο; Να αποκτήσει $2$ παιδιά από κάθε φύλο ή $3$ παιδιά του ίδιου φύλου;
$2.$ Σε μια μακρινή χώρα,ο δικτάτωρ Ηλιθιάχθος αποφασίζει να ελέγξει τις γεννήσεις και να εξισορροπήσει τον αριθμό αγοριών και κοριτσιών.

Cogito ergo ridere

$1.$ Τρεις φίλοι, ένας θεωρητικός φυσικός, ένας μηχανικός κι ένας στατιστικολόγος πάνε για κυνήγι. Ξάφνου μπροστά τους στα 300 μέτρα βλέπουν ένα υπέροχο ελάφι. Ο φυσικός βγάζει μολύβι και χαρτί και υπολογίζει ταχύτητα σφαίρας ,γωνίες, εξισώσεις τροχιάς κι όλα τα σχετικά, υποθέτει μηδενική αντίσταση από τον αέρα... σηκώνει το όπλο υπό μια γωνία και πυροβολεί. Η σφαίρα πέφτει δέκα μέτρα μπροστά από το ελάφι.

Ελάχιστη Διαδρομή

Δίδεται τετράγωνο $ABCD$ κέντρου $O$ πλευράς $a$ και μεταβλητό σημείο $S$ του τμήματος $AB$.
Αν $P$ η προβολή του $S$ στην $CD$, να προσδιοριστεί η θέση του $S$ για την οποία το άθροισμα της τεθλασμένης $OSPB$ γίνεται ελάχιστο και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μέτρου της.
- Kάντε κλικ στο παρακάτω σχήμα, για να δείτε την απάντηση που μου έστειλε ο κ. Κ. Δόρτσιος. 

Παρασκευή, 17 Οκτωβρίου 2014

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 67η

Πιθανότητες και Ιατρική

Έστω ότι κάποιο τεστ ανίχνευσης του ιού (H. I.V.) του AIDS έχει ακρίβεια $99\% $.
Δηλαδή αν κάποιος είναι φορέας τότε η διάγνωση είναι θετική $99$ φορές στις $100$, ενώ αν κάποιος δεν είναι φορέας η διάγνωση είναι αρνητική $99$ φορές στις $100$.Έστω επίσης το ποσοστό του πληθυσμού που φέρει τον ιό του AIDS είναι $0,1\%$. Εξετάζονται $100000$ άνθρωποι με το τεστ ανίχνευσης. Ανακοινώνεται σε κάποιο από τους εξετασθέντες ότι το αποτέλεσμα γι’ αυτόν από το τεστ ανίχνευσης είναι θετικό.
Να υπολογιστεί η πιθανότητα να είναι ο άνθρωπος αυτός πραγματικά φορέας του AIDS.

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στους Μιγαδικούς Αριθμούς

Ένα τρίωρο διαγώνισμα υψηλής δυσκολίας αποκλειστικά στο κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών στο οποίο εξετάζεται λεπτομερώς το κεφάλαιο στο αλγεβρικό αλλά και στο γεωμετρικό του μέρος. 
Το διαγώνισμα αποτελείται από θέματα των μαθηματικών Π. Σταματιάδη, Π. Τρύφωνα, Γ. Σταματογιάννη και Δ. Ιωάννου και απευθύνεται σε πολύ καλά προετοιμασμένους μαθητές.
Κάντε κλικ στην εικόνα.
Πηγή

Ένα Μυθικό Πρόβλημα Μοιρασιάς !!!

Σε ένα από τα πολλά ταξίδια του, στο βουνό των Κενταύρων, ο Ηρακλής βρέθηκε αντιμέτωπος  με μια παρέα 5 Κενταύρων,  οι όποιοι ήταν έτοιμοι να πιαστούν στα χέρια, ή στα... πόδια αν προτιμάτε, γιατί δεν μπορούσαν να μοιραστούν μια ποσότητα κρασιού. 
Για να αποφευχθεί το κακό ο Ηρακλής προσφέρθηκε να τους βοηθήσει να λύσουν το πρόβλημα που προέκυψε. Αυτοί, λοιπόν, του έδειξαν  45 φλασκιά με κρασί, τα οποία ήταν κατανεμημένα ως εξής:
α) Εννέα φλασκιά ήταν γεμάτα με κρασί.(4/4=100μονάδες)