Πέμπτη, 31 Ιουλίου 2014

$abc=?$

Οι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί and  ικανοποιούν την ισότητα
όπου $a,b,c$ ψηφία, όχι απαραίτητα διαφορετικά. Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός $abc$. 
USA AIME 2014

Θέματα Ο.Ε.Φ.Ε.

$a+b+c=?$

Έστω $m$ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης 
 
Αν για τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ ισχύει 
 
να υπολογισθεί το άθροισμα .
USA AIME 2014

Επαναληπτικές ασκήσεις στους μιγαδικούς αριθμούς

 Του Θωμά Ραϊκόφτσαλη 

Sportex

Σε ένα Sportex παπούτσι περνάμε από τις 8 τρυπούλες της πάνω ορθογώνιας επιφάνειας του διαστάσεων 50 mm x 80 mm, ένα κορδόνι του οποίου οι άκρες απέχουν το λιγότερο 200 mm.
Να βρεθεί το μικρότερο δυνατό μήκος του κορδονιού. 
USA AIME 2014

$χ_1 <χ_2 < χ_3$

Έστω  οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης 
Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης .
USA AIME 2014

Ισότητα γωνιών σε παραλληλόγραμμο

Έστω τα σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ενός παραλληλογράμμου  και έστω το σημείο τομής των
Υποθέτουμε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνονται και σε ένα άλλο σημείο εσωτερικό του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι: .

Τρίτη, 29 Ιουλίου 2014

Σε ίσες αποστάσεις

Σε τρίγωνο $ABC$, το ύψος $AD$ ισούται με την πλευρά $BC$. 
Δείξετε ότι το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου ισαπέχει του μέσου $M$ του $AD$ και του μέσου $O$ του $BC$.

Δευτέρα, 28 Ιουλίου 2014

To Pizza or not to Pizza?

Ο Αντώνης κι ο Βρασίδας είναι φοιτητές και συγκάτοικοι. Ψάχνοντας ένα βράδυ στο ψυγείο τους (πολλά μαθηματικώς αξιοπερίεργα πράγματα μπορεί να βρεθούν ξεχασμένα σε ένα 
φοιτητικό ψυγείο, ακόμη και το κενό σύνολο ενίοτε...) ανακάλυψαν $3$ κομμάτια πίτσα. Κρύα και ελαφρώς μπαγιάτικη, η πίτσα θα μπορούσε να μοιραστεί με διάφορους τρόπους.

Μαθητές σχολείου

Οι μαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από $100$ αλλά λιγότεροι από $200$.
Αν παραταχθούν σε δεκάδες λείπει ένας . Αν παραταχθούν σε εννιάδες  περισσεύουν $7$. Βρείτε το πλήθος αυτών των μαθητών.

Πιο κοντινός στο 1000

Να βρεθεί ο πιο κοντινός  στο $1000$  ακέραιος , που διαιρείται ακριβώς με το $13$ ενώ αν του προσθέσουμε $5$ διαιρείται ακριβώς με $17$.

Σάββατο, 26 Ιουλίου 2014

Διαιρετότητα

Αποδείξτε πως το $ν^{2}+23$ διαιρείται με το $24$ για απείρως πολλούς $ν$.

Φόρμουλα Μία

Το πλάτος της πίστας αγώνων αυτοκινήτων που απεικονίζεται σε κάτοψη είναι σταθερό και ίσο με $8$ μέτρα.
Ποια είναι η διαφορά στο μήκος μεταξύ της δεξιάς και της αριστερής πλευράς (ακμής) της διαδρομής;

Εύρεση γωνίας

Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat B = {70^0}$ και   $\widehat C = {50^0}$. Στις $AB,AC$ θεωρούμε τα σημεία $E,D$ αντίστοιχα για τα οποία : $D\widehat BC = {50^0}$ και   $E\widehat CB = {40^0}$.
Δείξετε ότι: $\widehat x = C\widehat ED = {30^0}$.