Τρίτη, 9 Φεβρουαρίου 2016

χ=?

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο. 
Αν $\angle{DAE}=30^0$, $AD=3$, $EC=5$, να βρεθεί το μήκος $χ$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δευτέρα, 8 Φεβρουαρίου 2016

11 - Inequalities

Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $abc = 1$.  
Prove that
$\dfrac{a}{ca + 1} + \dfrac{b}{ab + 1} + \dfrac{c}{bc + 1} ≤ \dfrac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2 )$
Proposed by Sayan Das, Kolkata, India 
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Κυριακή, 7 Φεβρουαρίου 2016

Ίσοι λόγοι

Στο παρακάτω σχήμα, η $AD$ είναι διχοτόμος του τριγώνου.
Nα αποδειχθεί ότι
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ασκήσεις στον Ρυθμό Μεταβολής

Πηγή: lisari

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Δύο ωραία επαναληπτικά θέματα

1. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση  με
$f'(x)\neq0$,$f(ln4)=1$, $f(ln\dfrac{1}{4})=-2$ 
και ισχύει  
, για κάθε

Α) Να δείξετε ότι
                                     , για κάθε .
Β) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο .

Kill two birds with a stone

              Kill two birds with a stone

Integration using complex variable         
Surprisingly, the use of complex variables can help to solve integration, in a neat and compact way. We like to illustrate this in the following example. Two integrals can be evaluated at the same time. To begin, I suppose you know the Euler formula:                 
                          eix = cos x + i sin x

Example
Evaluate
         C = òe2xcos4x dx,  S = òe2xsin4xdx.
Solution
          C + iS   =   ò e2x (cos 4x + i sin 4x) dx
                        =      ò e2x e4ix dx
                        =      ò e(2+4i)x dx

Γαλάζιο εμβαδόν

Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο.
Να αποδειχθεί ότι
$(ADE) = \dfrac{x(x+y)}{4}$.
Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος Νίκος Φραγκάκης (Doloros) καθηγητής στο 2ο Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας:

Σάββατο, 6 Φεβρουαρίου 2016

4031 ευθείες

Έχουμε 4031 ευθείες επί ενός επιπέδου, έτσι ώστε να μην είναι ανά δύο παράλληλες ή κάθετες, και να μην διέρχονται ανά τρεις από το ίδιο σημείο. 
Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός οξυγωνίων τριγώνων που μπορούν να σχηματιστούν.
Hong Kong Math TST 2016
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$4+4=?$

Πιθανές τιμές

Έστω αριθμοί $a,b,c$ για τους οποίους ισχύει
 $\dfrac{a}{b+ c}= \dfrac{b}{c+a} = \dfrac{c}{ a + b} = k$. 
Να βρεθούν οι πιθανές τιμές για τον αριθμό $k$.
Senior Kangaroo Mathematical Challenge 2015
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

$9+6=?$

Παρασκευή, 5 Φεβρουαρίου 2016

Διαφορά τριάντα μοιρών

Φέρουμε σε ένα τρίγωνο $ABC$ τις διχοτόμους $AA_1$ $BB_1$ και $CC_1$ των εσωτερικών γωνιών. 
Να αποδείξετε ότι, αν
$\angle{ABC} = 120^0$, 
τότε      $\angle{A_{1}B_{1}C_{1}} = 90^0$.
Περιοδικό Quantum (V. Yegorov)
Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος Νίκος Φραγκάκης (Doloros) καθηγητής στο 2ο Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας:

Πέμπτη, 4 Φεβρουαρίου 2016

10 - Inequalities

Let $a, b, c$ be real numbers greater than or equal to $1$.
Prove that
$\dfrac{a^ 3 + 2}{b^ 2 − b + 1} + \dfrac{b^ 3 + 2}{ c^ 2 − c + 1} + \dfrac{c^ 3 + 2}{ a^ 2 − a + 1} ≥ 9$.
Proposed by Titu Andreescu, University of Texas at Dallas, USA 
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Η άσκηση της ημέρας από το lisari - Ιανουάριος 2016

 Επιμέλεια:  Παύλος Τρύφων 
Πηγή: lisari

Ομοκυκλικά

Ισοσκελές τρίγωνο $ABC (AB=AC)$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O$. Χορδή $DE$, παράλληλη προς τη $BC$τέμνει τις $AB,AC$ στα σημεία $L,N$ αντίστοιχα. 
Στα σημεία $L,N$ φέρω κάθετες προς την $DE$, οι οποίες τέμνουν τις $BO,BA$, στα σημεία $P,S$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι τα σημεία $S,D,P,E$ είναι ομοκυκλικά.

Μαθηματικά προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου - Συνέπειες θεωρήματος μέσης τιμής

 Του Παναγιώτη Παπαδόπουλου 
Φυλλάδιο με μια σειρά ασκήσεων στις συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής, σύμφωνα με την ύλη των μαθηματικών προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου
Κάντε κλικ στην εικόνα.

Τετάρτη, 3 Φεβρουαρίου 2016

Ακολουθία αθροισμάτων

Ποιο είναι το επόμενο άθροισμα
$(2 + 6), (21 + 6), (58 + 6), (119 + 6), (?+?)$

9- Inequalities

Let $a, b, c\geq1$ be positive real numbers such that
$a + b + c = 6$.
Prove that
$(a^2 + 2)(b^2 + 2)(c^2 + 2) ≤ 216$. 
Proposed by Mihai Piticari, Campulung Moldovenesc, Romania
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Σαν δυο σταγόνες

Στο άκρο της χορδής του μπλέ τόξου φέρω εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου το μέσο ονομάζω . Επί της κινείται σημείο και η $AS$ τέμνει το τόξο στο
Η $CT$ τέμνει την στο . Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια.

Τρίτη, 2 Φεβρουαρίου 2016

Μέγιστη τιμή

Έχετε έναν ακέραιο αριθμό, όπου κάθε ψηφίο του εμφανίζεται το πολύ δύο φορές και τα αθροίσματα όλων των τεσσάρων διαδοχικών ψηφίων του είναι τέλεια τετράγωνα. 
Για παράδειγμα, ο $205290$ είναι ένας τέτοιος αριθμός, επειδή κανένα ψηφίο του δεν εμφανίζεται περισσότερο από δύο φορές και 
$2 + 0 + 5 + 2$, $0 + 5 + 2 + 9$, και $5 + 2 + 9 + 0 $
είναι τέλεια τετράγωνα. 
Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή για τον αριθμό αυτό?
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com