▪ 36 Ασκήσεις Γεωμετρίας από Βαλκανικές Μαθηματικές Ολυμπιάδες

ΑΣΚΗΣΗ 1^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε που διέρχεται από το έκκεντρο και τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Δ και Ε και τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία F και G (D ανάμεσα στα σημεία F  και G). Να αποδείξετε ότι (DF)(EG) >= ρ², όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα;     

3^rd Balkan Mathematical Olympiad 1986

ΑΣΚΗΣΗ 2^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ σημείο του επιπέδου του τριγώνου τέτοιο ώστε τα τρίγωνα ΡΑΒ, ΡΒΓ και ΡΓΑ να έχουν την ίδια περίμετρο και το ίδιο εμβαδόν. Να αποδείξετε ότι:

α) αν το σημείο Ρ είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο

β) αν το σημείο Ρ είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το τρίγωνο  είναι ορθογώνιο.

3^rd Balkan Mathematical Olympiad 1986

ΑΣΚΗΣΗ 3^η

Δύο κύκλοι Κ₁, Κ₂ με κέντρα Ο₁, Ο₂ και ακτίνες 1 και αντιστοίχως τέμνονται στα σημεία Α και Β. Έστω ΑΓ μία χορδή του κύκλου της οποίας το μέσο βρίσκεται στον κύκλο Κ₁. Να βρεθεί το μήκος της χορδής ΑΓ.

4^th Balkan Mathematical Olympiad 1987

ΑΣΚΗΣΗ 4^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΓΗ, ΓΛ  και ΓΜ είναι το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος του τριγώνου. Αν ισχύει:  

να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

5^th  Balkan Mathematical Olympiad 1988

ΑΣΚΗΣΗ 5^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ε μία ευθεία που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Β₁ και Γ₁ αντιστοίχως , έτσι ώστε η κορυφή Α και το βαρύκεντρο G του τριγώνου να ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία

 ε. Να αποδείξετε ότι (ΒΒ₁ GΓ₁) + (ΓΓ₁GΒ₁) >= (ΑΒΓ). Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα.

6^th Balkan Mathematical Olympiad 1989

ΑΣΚΗΣΗ 6^η

Έστω Α₁Β₁Γ₁ το ορθικό τρίγωνο ενός οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ και Α₂ , Β₂ και Γ₂ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο Α₁Β₁Γ₁ , με τις πλευρές του. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες του Euler των τριγώνων Α₂Β₂Γ₂ και ΑΒΓ ταυτίζονται.

7^th Balkan Mathematical Olympiad 1990

ΑΣΚΗΣΗ 7^η

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο σημείο του τόξου ΑΒ (που δεν περιλαμβάνει το σημείο Γ)  του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .Από το σημείο Μ φέρουμε κάθετη στην ακτίνα ΟΑ που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ αντιστοίχως. Επίσης από το Μ φέρουμε κάθετη στην ακτίνα ΟΒ  που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ στα σημεία Ν και Ρ αντιστοίχως. Αν ΚΛ = ΜΝ, να αποδείξετε ότι: γωνΜΛΡ =γωνΓ.

8^th  Balkan Mathematical Olympiad 1991

ΑΣΚΗΣΗ 8^η

Έστω τρίγωνο ABC και D, Ε και F τυχαία σημεία των πλευρών του BC, CA και ΑΒ αντιστοίχως. Αν το τετράπλευρο ΑFDΕ είναι εγγράψιμο σε κύκλο   

9th Balkan Mathematical Olympiad 1992

ΑΣΚΗΣΗ 9^η

Οι κύκλοι C₁, C₂  με κέντρα Ο₁ , Ο₂ εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Τ .Έστω ο κύκλος C με κέντρο Ο που εφάπτεται των κύκλων C₁ και C₂ στα σημεία Α και Β αντιστοίχως έτσι ώστε τα κέντρα Ο₁ και Ο₂  να βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου C. Η κοινή εφαπτομένη των κύκλων C₁ και C₂ στο σημείο Τ τέμνει τον κύκλο C στα σημεία Κ και Λ .Αν Δ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ, να αποδείξετε ότι : γωνΟ₁ΟΟ₂ =γωνΑΔΒ. 

10^th  Balkan Mathematical Olympiad 1993

ΑΣΚΗΣΗ 10^η

Έστω Α και Β τα σημεία τομής των πλευρών κύκλων C₁: (Ο₁, ρ₁) και C₂ : (Ο₂, ρ₂) με ρ₁ < ρ₂ και γωνΟ₁ΑΟ₂ = 90⁰ . Η ευθεία Ο₁Ο₂ τέμνει τον κύκλο C₁ στα σημεία C και D και τον κύκλο C₂ στα σημεία E και F. Το σημείο Ε βρίσκεται μεταξύ των σημείων C και D και το σημείο D μεταξύ των σημείων Ε και F . Η ΒΕ τέμνει τον κύκλο C₁ στο σημείο Κ και την AC στο σημείο Μ, ενώ η BD τέμνει τον κύκλο C₂ στο σημείο L και την AF στο Ν. Να αποδείξετε ότι:

12th Balkan Mathematical Olympiad 1995

ΑΣΚΗΣΗ 11^η

Έστω κυρτό τετράπλευρο ABC με γωνABC+ γωνBCD < 180⁰ και Ε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και CD. Να αποδείξετε ότι γωνABC=γωνADC , αν και μόνο αν

                                   AC² = (CD)(CE) – (AB)(AE).   

Bulgarian Mathematical Olympiad 1996

ΑΣΚΗΣΗ 12^η

Δύο κύκλοι C₁ και C₂ με κέντρα Ο₁ και Ο₂ αντιστοίχως εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο C. Ένας τρίτος κύκλος C με κέντρο O εφάπτεται εξωτερικά με τους κύκλους C₁ και C₂ στα σημεία M και N αντιστοίχως. Έστω l η κοινή εφαπτομένη των κύκλων C₁ και C₂ στο σημείο C και AB η διάμετρος του κύκλου C .Aν η ευθεία l είναι κάθετη στην ΑΒ (τα σημεία Ο₁ και Α ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία l), να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΟ₂, ΒΟ₁ και l διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Bulgarian Mathematical Olympiad 1996 Round 3       

ΑΣΚΗΣΗ 13^η

Έστω Ο και G το περίκεντρο και το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως. Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:

13th Balkan Mathematical Olympiad 1996

ΑΣΚΗΣΗ 14^η

Έστω ABCDE κυρτό πεντάγωνο και M, N, P, Q, R τα μέσα των πλευρών AB, BC, CD, DE, EA αντιστοίχως. Αν τα τμήματα AP, BQ, CR, DM διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο, να αποδείξετε ότι και το ΕΝ διέρχεται από το σημείο Ο.

13^th Balkan Mathematical Olympiad 1996

ΑΣΚΗΣΗ 15^η

9 σημεία είναι τοποθετημένα μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 3 σημεία από αυτά τέτοια ώστε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν να μην είναι μεγαλύτερο του 1/8 .

1^st Balkan Junior Mathematical Olympiad 1997

ΑΣΚΗΣΗ 16^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του. Αν Δ, Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ και οι ΒΙ και ΓΙ τέμνουν την ΔΕ στα σημεία Κ και Λ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι:

                                      ΑΙ + ΒΙ + ΓΙ > ΒΓ + ΚΛ .

1^st Balkan Junior Mathematical Olympiad 1997

ΑΣΚΗΣΗ 17^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Αν ισχύει

α = R(β + γ), να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. 

1^st  Balkan Junior Mathematical Olympiad 1997

ΑΣΚΗΣΗ 18^η

Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒCD και Ο εσωτερικό σημείο του τετραπλεύρου , τέτοιο ώστε:

                                  ΟΑ² + ΟΒ² + ΟC² + ΟD² = 2Ε

όπου Ε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒCD. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒCD είναι τετράγωνο με κέντρο το σημείο Ο.

14^th Balkan Mathematical Olympiad 1997

ΑΣΚΗΣΗ 19^η

Έστω κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ με ΑΒ = ΑΕ = 1 και γωνABC=γωνDEA= 90⁰ και ΒC + DΕ =1. Να βρεθεί το εμβαδόν του πενταγώνου .

2^nd Balkan Junior Mathematical Olympiad 1998

ΑΣΚΗΣΗ 20^η

Έστω τετράπλευρο ABCD τέτοιο ώστε AD = CD και γωνDAB=γωνABC < 90⁰ . Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο D και από το μέσο της πλευράς BC τέμνει την ευθεία ΑΒ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι γωνBEC=γωνDAC .

XLVII Bulgarian Mathematical Olympiad 1998 Round 3

ΑΣΚΗΣΗ 21^η

Έστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R), το Ο είναι εσωτερικό σημείο του τετραπλεύρου. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου του οποίου οι κορυφές είναι οι προβολές του σημείου τομής των διαγωνίων του στις πλευρές του τετραπλεύρου δεν μπορεί να ξεπεράσει το ½(ABCD) .

Bulgarian Mathematical Olympiad 1999 Round 3 

ΑΣΚΗΣΗ 22^η

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και G το βαρύκεντρο του. Από το G φέρουμε τις κάθετες GM, GP και GN προς στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι:

16th Balkan Mathematical Olympiad 1999

ΑΣΚΗΣΗ 23^η

Ένα ημικύκλιο με διάμετρο EF πάνω στην πλευρά BC ενός τριγώνου ABC εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ και AC στα σημεία Q και P αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής Κ των ΕΡ και FQ βρίσκεται πάνω στο ύψος του  τριγώνου ABC από την κορυφή A.

4^th  Balkan Junior Mathematical Olympiad 2000

ΑΣΚΗΣΗ 24^η

Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν D το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο A με την ευθεία BC, E το σημείο τομής της  εφαπτόμενης του κύκλου στο σημείο B με την ευθεία CA και F το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο C με την ευθεία AB, τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία D, E και F είναι συνευθειακά.

FYROM Mathematical Olympiad 2001

ΑΣΚΗΣΗ 25^η

Έστω κυρτό πολύγωνο με 1415 πλευρές το οποίο έχει περίμετρο 2001. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τρεις κορυφές του πολυγώνου που σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν μικρότερο του 1.

5^th Balkan Junior Mathematical Olympiad 2001

ΑΣΚΗΣΗ 26^η

Δύο κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν ΜΝ και ST είναι οι κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων, όπου Μ, S ανήκουν στον ένα κύκλο και Ν, Τ ανήκουν στον άλλο, να αποδείξετε ότι τα ορθόκεντρα Η₁, Η₂, Η₃ και Η₄ των τριγώνων ΑΜΝ, AST, BMN και BST αντιστοίχως, είναι κορυφές ορθογωνίου.

19^th Balkan Mathematical Olympiad 2002

ΑΣΚΗΣΗ 27^η

Έστω τρίγωνο ABC και τα σημεία  D και E επί των ευθειών CB και CA τέτοια ώστε:  

                                    CD = CE = ½ (AC +BC) .

Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC και P το μέσο του τόξου ΑΒ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑBC , να αποδείξετε ότι η ευθεία DE διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα HP.

Serbia and Montenegro Mathematical Olympiad 2003  

ΑΣΚΗΣΗ 28^η

Έστω τρίγωνο ΑBC με AB ≠ AC και έστω D το σημείο τομής της εφαπτομένης του περιγεγραμμένου του κύκλου στο σημείο Α με την ευθεία CB. Αν Ε και F είναι σημεία των μεσοκαθέτων των πλευρών AB και AC τέτοια ώστε οι ΒΕ , BC κάθετες  και CF, BC επίσης κάθετες, να αποδείξετε ότι τα σημεία D, E και F είναι συνευθειακά.  

20^th Balkan Mathematical Olympiad 2003

ΑΣΚΗΣΗ 29^η

Έστω τρίγωνο ABC και D σημείο της πλευράς BC. Αν E και F είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο D στις AB και AC αντιστοίχως και P το σημείο τομής των ευθειών BF και CE, να αποδείξετε ότι το AP είναι ύψος του τριγώνου ABC, αν και μόνο  αν η AD είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC.

Romanian Junior Mathematical Olympiad 2004 

ΑΣΚΗΣΗ 30^η

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο C .Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α τέμνει την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο σημείο Ρ. Αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΡ,  R το σημείο τομής του ΜΒ με τον κύκλο και  S το σημείο τομής του PR με τον κύκλο (διαφορετικό από το R),να αποδείξετε ότι ΑΡ//RC.

9^th Balkan Junior Mathematical Olympiad 2005

ΑΣΚΗΣΗ 31^η

Έστω παραλληλόγραμμο ABCD και Μ, Ν,P και Q τα μέσα των πλευρών του AB, BC, CA και DA αντιστοίχως. Αν ενώσουμε τις κορυφές του παραλληλογράμμου με τα σημεία Μ, Ν, P και Q τότε σχηματίζεται ένα οκτάγωνο , του οποίου να βρείτε το εμβαδόν συναρτήσει του εμβαδού του παραλληλογράμμου ABCD.

Albanian Mathematical Olympiad Selection Team Test 2005   

ΑΣΚΗΣΗ 32^η

Έστω δύο κύκλοι C₁ , C₂ που τέμνονται στα σημεία Α και Β. Η εφαπτομένη του κύκλου C₂ στο σημείο Α τέμνει τον κύκλο C₁ στο σημείο C και η εφαπτομένη του κύκλου C₁ στο σημείο Α τέμνει τον κύκλο C₂ στο σημείο D. Mία ευθεία από το σημείο Α στο εσωτερικό της γωνίας CAD τέμνει τους κύκλους C₁, C₂ στα σημεία Ν και Μ αντιστοίχως και τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ACD στο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι ΑΜ = ΝΡ.

Romanian Junior  Mathematical Olympiad 2005

ΑΣΚΗΣΗ 33^η

Έστω τρίγωνο ABC και Μ σημείο της πλευράς BC τέτοιο ώστε BM:BC = k , Ν σημείο της πλευράς CA τέτοιο ώστε CN:CA=l(el) και Ρ σημείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε AP:AB =m. Αν D είναι το σημείο τομής των AM και BN, E το σημείο τομής των BN και CP, F είναι το σημείο τομής των  CP και AM και k + l + m  = 1, να αποδείξετε ότι:

                                   (DEF) = (BMD) + (CNE) + (APF) . 
Moldovian Mathematical Olympiad  2005

ΑΣΚΗΣΗ 34^η

Έστω G το βαρύκεντρο τριγώνου ABC .Να αποδείξετε ότι:

Serbia & Montenegro Mathematical Olympiad 2005

ΑΣΚΗΣΗ 35^η

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒC περιγεγραμμένο σε κύκλο και έστω D και E τα σημεία επαφής με τις πλευρές ΑΒ και AC αντιστοίχως. Αν Χ και Y είναι τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών C και Bμε την ευθεία DE και Ζ το μέσο της ΒC, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΧYΖ είναι ισόπλευρο, αν και μόνο αν γωνΑ = 60⁰.

22^th Balkan Mathematical Olympiad 2005

ΑΣΚΗΣΗ 36^η

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC (ΑΒ = AC) με γωνBAC < 60⁰ και D, E εσωτερικά σημεία της πλευράς AC, τέτοια ώστε EB = ED και γωνABD= γωνCBE . Αν οι διχοτόμοι των γωνιών ACB και BDC τέμνονται στο σημείο Ο, να υπολογίσετε τη γωνία  COD.

Balkan Mathematical Olympiad junior 2006