Τρίτη, 7 Αυγούστου 2012

▪ Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης

 Του Βασίλη Κακαβά 
ΘΕΜΑ Α
A1. Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του , στο οποίο όμως είναι συνεχής. 
Αν στο και στο , τότε να δείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (Μ 10 )
A2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της; (Μ 5) 
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 
α) Αν f(x) = αx, α > 0, τότε ισχύει (αx) ′ =xαx−1 
β) Αν παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη με παραγωγίσιμη τότε υπάρχει ώστε
γ) Αν ή , τότε
δ) Αν και τότε α=β
ε) Αν Αν παραγωγίσιμη, τότε μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της η έχει τουλάχιστον ένα ακρότατο.(Μ 10)
ΘΕΜΑ Β
Έστω μιγαδικός αριθμός
B1. Αν γνωρίζουμε ότι η εικόνα του ανήκει στην ευθεία
 
να δείξετε ότι (Μ 6) 
B2. Αν για τον μιγαδικό w ισχύει ότι να δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών w που απέχουν από τις εικόνες του z, απόσταση 1, είναι κύκλος (C) κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ=2.(Μ 7)
B3. Αν w=2i είναι ένας από τους μιγαδικούς του συνόλου (C) να υπολογίσετε τον μιγαδικό z. (Μ 6) 
B4. Να δείξετε ότι
 
όπου z,w μιγαδικοί του ερωτήματος (B3) (Μ 6) 
ΘΕΜΑ Γ 
Δίνονται οι συναρτήσεις
  ,
Γ1. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [1,e] (Μ 6 )
Γ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι ΄΄1-1΄΄ στο (Μ 5)
Γ3. Δίνεται η συνάρτηση
και  
όπου παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με και
α) Να δείξετε ότι η F είναι συνεχής στο (Μ 6) 
β) Αν γνωρίζουμε ότι και ln(f(e))=1 να δείξετε ότι (Μ 4 )
γ) Αν επίσης γνωρίζουμε ότι F(x) lnx=h(x), για x>1να δείξετε ότι (Μ 4)
ΘΕΜΑ Δ 
Έστω παραγωγίσιμη με γνήσια μονότονη στο
∆1. Αν ισχύει τότε να δείξετε ότι η είναι κυρτή στο (Μ 6 )
∆2. Αν είναι και η εφαπτομένη στο σημείο τέμνει την εφαπτομένη στο στο σημείο να δείξετε ότι και ότι (Μ 7 )
∆3. Αν επίσης το και το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της και των εφαπτομένων στα σημεία και είναι να δείξετε ότι (Μ 7 )
∆4. Να δείξετε ότι για κάθε (Μ 5)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου