▪ 2η Προκαταρκτική Φάση 1995 - Γυμνάσιο

Θέμα 1ο

α) Αν να αποδείξετε ότι

  .

β) Αν και να αποδείξετε ότι

  .

Θέμα 2ο

α) Να προσδιορίσετε πολυώνυμο 2ου βαθμού που έχει τις ιδιότητες:

i) Διαιρούμενο με δίνει υπόλοιπο 32.

ii) Το άθροισμα των συντελεστών του είναι 12 και ο σταθερός όρος 10.

β) Να προσδιορίσετε πολυώνυμο 4ου βαθμού ώστε:

.

γ) Να υπολογίσετε το

   

όπου .

Θέμα 3ο

α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός () είναι άθροισμα δύο τετραγώνων.

β) Στο σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό () ισχύει:

i) Ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.

ii) Ο αριθμός είναι τέλειος κύβος.

iii) Ο αριθμός είναι τέλεια τέταρτη δύναμη.

Θέμα 4ο

α) Πόσοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7 ;

β) Πόσοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία μεγαλύτεροι από το 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7;

Πηγή: mathematica (Α. Συγγελάκης)