▪ 3η Προκαταρκτική Φάση 1995 - Γυμνάσιο

Θέμα 1ο

Να προσδιορίσετε τους ακεραίους για τους οποίους ισχύει 

.

Θέμα 2ο

Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρνουμε τα ύψη . Αν η είναι παράλληλη στην , η γωνία είναι και να προσδιορίσετε τα μέτρα των πλευρών και των γωνιών του τριγώνου .

Θέμα 3ο

Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι το κλάσμα 

 

βρίσκεται μεταξύ των αριθμών . (Τα είναι τέτοια ώστε να έχουν έννοια τα παραπάνω κλάσματα).

Θέμα 4ο

Θεωρούμε μία τριγωνική τοποθέτηση των αριθμών . Οι αριθμοί που βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου είναι ίσοι με το άθροισμα των δύο γειτονικών αριθμών της προηγούμενης σειράς. Για παράδειγμα οι έξι πρώτες σειρές είναι:

Έστω το άθροισμα των αριθμών της σειράς. Να προσδιορίσετε τα δύο τελευταία ψηφία του .

Πηγή: mathematica (Α. Συγγελάκης)