Ένας πατέρας άφησε ένα κιβώτιο με χρυσά νομίσματα στα 6 παιδιά του, 3 αγόρια και 3 κορίτσια. Η διαθήκη έλεγε:
Κάθε παιδί ένα - ένα με τη σειρά πρώτα τα αγόρια και μετά τα κορίτσια θα βάζει στο κουτί τόσα νομίσματα όσα βλέπει μέσα και μετά θα παίρνει 250 το κάθε αγόρι και 125 το κάθε κορίτσι. Όταν πήρε και το τρίτο κορίτσι τα 125 νομίσματα δεν έμεινε τίποτα στο κιβώτιο. Πόσα νομίσματα είχε το κιβώτιο;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Υπάρχει ένα προβληματάκι στην εκφώνηση. Για το τελευταίο κορίτσι έπρεπε να υπάρχουν $\dfrac{125}{2}=62.5$ νομίσματα, άτοπο και αριθμός νομισμάτων στο κιβώτιο $x=\dfrac{14875}{64}=232.421875$ επίσης άτοπο, αν έκανα σωστή ανάγνωση των δεδομένων και δεν μου διέφυγε κάτι από αυτά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο λύνω με Διοφαντική εξίσωση. $x$ τα νομίσματα του κιβωτίου, $2y$ παίρνουν τα αγόρια και $y$ παίρνουν τα κορίτσια.
$(((((2x-2y)\cdot 2-2y)\cdot 2-2y)\cdot 2-y)\cdot 2-y)\cdot 2-y=0\Rightarrow$
$64x=119y\Rightarrow 2^6x=7\cdot17y\Rightarrow$ $\boxed{ x=119,y=64\ (2y=128)}$
ή γενικότερα $x=119n,y=64n\ (2y=128n)$
Στην περίπτωση μας τα κοντινότερα μεγέθη είναι τα αγόρια παίρνουν $256$ και τα κορίτσια $128$ νομίσματα και το κιβώτιο είχε $119\cdot2=238$ νομίσματα.
Με πρόλαβες Ευθύμη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω "α" τ’ αρχικά χρυσά νομίσματα που είχε μέσα στο σεντούκι. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
2α – 250 = β (1)
2β – 250 = γ (2)
2γ – 250 = δ (3)
2δ – 125 = ε (4)
2ε – 125 = ζ (5)
2ζ – 125 = 0 (6)
Από τη (6) συνάγουμε ότι:
2ζ – 125 = 0 --> 2ζ = 125 ---> ζ =125/2 ---> ζ = 62,50 (7)
Αντικαθιστούμε τη τιμή «ζ» στη (5) κι’ έχουμε:
2ε – 125 = ζ ---> 2ε – 125 = 62,50 ---> 2ε = 125 + 62,50 --->
2ε = 187,50 ---> ε =187,50/2 ---> ε = 93,75 (8)
Αντικαθιστούμε τη τιμή «ε» στη (4) κι’ έχουμε:
2δ – 125 = ε ---> 2δ – 125 = 93,75 ---> 2δ = 125 + 93,75 ---> 2δ = 218,75 ---> δ =218,75/2 ---> δ = 109,375 (9)
Αντικαθιστούμε τη τιμή «δ» στη (3) κι’ έχουμε:
2γ – 250 = δ ---> 2γ – 250 = 109,375 --->2γ = 250 + 109,375--> 2γ = 359,375 ---> γ = 359,375/2 ---> γ = 179,6875 (10)
Αντικαθιστούμε τη τιμή «γ» στη (2) κι’ έχουμε:
2β – 250 = γ ---> 2β – 250 = 179,6875 --->
2β = 250 +179,6875 ---> 2β = 429,6875 --->
β =429,6875/2 ---> β = 214,84375 (11)
Αντικαθιστούμε τη τιμή «β» στην (1) κι’ έχουμε:
2α – 250 = β ---> 2α – 250 = 214,84375 --->
2α = 250 + 214,84375 ---> 2α = 464,84375 --->
α =464,84375/2 ---> α = 232,421875 (12)
Άρα το σεντούκι περιείχε στην αρχή 232,421875 χρυσά νομίσματα.
Επαλήθευση:
2α – 250 = β ---> 2*232,421875(α) –250 = 464,84375 – 250 = 214,84375(β)
2β – 250 = γ ---> 2*214,84375 – 250 = 429,6875 – 250 = 179,6875(γ)
2γ – 250 = δ ---> 2*179,6875 – 250 = 359,375 – 250 = 109,375(δ)
2δ – 125 = ε ---> 2*109,375 – 125 = 218,75 – 125 = 93,75(ε)
2ε – 125 = ζ ---> 2*93,75 – 125 = 187,50 –125 = 62,5(ζ)
2ζ – 125 = 0 ---> 2*62,5 – 125 = 125 – 125 = 0 ο.ε.δ.
(Από το βιβλίο του Νικομάχου του Γερασηνού με τίτλο «Αριθμητικήν Εισαγωγήν».)