Έστω $r, s$ και $t$ οι τρεις ρίζες της εξίσωσης
$8x^3 + 1001x + 2008 = 0$.
Να βρεθεί η τιμή της παράστασης
$(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3$ .
Από μαθηματικό διαγωνισμό του Πανεπιστημίου Μπέρκλεϊ (Η.Π.Α)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Αφου r ,s ,t ρίζες του πολυωνύμου αυτό θα γράφεται ισοδύναμα ως εξής: 8(x -r)(x -s)(x -t). Αν εκτελέσουμε τις επιμερ. από την εξίσωση των δυο πολυωνύμων βρίσκουμε ότι -8s -8r -8t =0 (είναι ο συντελεστής του x του παραπάνω πολυωνύμου) από όπου προκύπτει ότι s +t +r =0 ή r +t = -s όπως και r +s = -t και s +t = -r.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπιπλέον από την εξίσωση των δυο πολυωνύμων προκύπτει και ότι 2008 = -8rst δηλ rst = -251.
Τώρα αν στη ζητούμενη σχέση αντικαταστήσουμε το r +s =-t και το s +t =-r και αναπτύξουμε τη ταυτότητα με το r +t θα βγει το εξής μετά από κοινό παράγοντα : 3rt(r +t) = -3rts =-3(-251) =753.
Το -8s -8r -8t είναι συντ/στής του x τετράγωνο εννοούσα .....δαιμων του πληκτρολογίου....
Διαγραφή